专题2.1 函数的概念及其表示（解析版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 2.1 函数的概念及其表示

一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1

题型一求函数的定义域及已知函数的定义域求参数......................................................................................1

题型二求函数的解析式.......................................................................................................................................3

题型三分段函数求值问题...................................................................................................................................5

题型四已知分段函数的函数值，求参数的值..................................................................................................6

题型五与分段函数有关的方程、不等式问题..................................................................................................6

二、高效训练突破.........................................................................................................................................................7

一、题型全归纳

题型一求函数的定义域及已知函数的定义域求参数

【题型要点】

1.求具体函数 y＝f(x)的定义域

2.求抽象函数的定义域一般有两种情况：

①已知y＝f(x)的定义域是 A，求 y＝f(g(x))的定义域，可由 g(x)∈A求出 x的范围，即为 y＝f(g(x))的定义域；

②已知y＝f(g(x))的定义域是 A，求 y＝f(x)的定义域，可由 x∈A求出 g(x)的范围，即为 y＝f(x)的定义域．

3.几种常见函数的定义域

(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．

(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．

(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1的实数集合．

(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．

(5)指数函数的底数大于 0且不等于 1.

(6)正切函数 y＝tan x的定义域为

{

x|x≠kπ +π

2，k∈Z

}

【例 1】(2020·华南师范大学附属中学月考)已知函数 f(x)的定义域是[－1，1]，则函数 g(x)＝的定义域是　(

)

A．[0，1] B．(0，1)

C．[0，1) D．(0，1]

【答案】B

【解析】由函数 f(x)的定义域为[－1，1]，得－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得 0≤x≤1，又由 1－x>0 且1－

x≠1，解得 x<1 且x≠0，所以函数 g(x)的定义域为(0，1)，故选 B.

【例 2】(2020·安徽宣城八校联考)函数 y＝的定义域为(　　)

A．(－1，3]　　　　　 B．(－1，0)∪(0，3]

C. [－1，3] D．[－1，0)∪(0，3]

【答案】B　

【解析】要使函数有意义，x需满足解得－1<x<0 或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．故选

【例 3】若函数 f(x)＝的定义域为实数集，则实数 m的取值范围是__________．

【答案】 [0,4]

【解析】函数定义域为 R⇔mx2＋mx＋1≥0 对∀x∈R恒成立，当 m＝0时，f(x)＝1，满足条件；当 m≠0 时，

有⇒0<m≤4.综合可知，所求 m的取值范围为[0,4]．

【例 4】若函数 y＝的定义域为 R，则实数 a的取值范围是(　　)

A. B．

C. D．

【答案】D

【解析】由 ax2－4ax＋2＞0恒成立，得 a＝0或解得 0≤a＜.

题型二求函数的解析式

【题型要点】求函数解析式的 4种方法

(1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x替代 g(x)，得 f(x)的表

达式．

(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．

(4)解方程组法：已知关于 f(x)与f

(

)

或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程

组，通过解方程组求出 f(x)．

【例 1】已知二次函数 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求 f(x)；　

【答案】f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)

【解析】解法法一：待定系数法

因为 f(x)是二次函数，所以设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x

＋a＋b＋c.

因为 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，

所以解得

所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

解法二：换元法

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