专题2 三角形中的最值范围问题专题提升卷（解析版）-2020-2021学年高一数学下学期期末复习备考精准测试卷（人教A版2019必修第二册）

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高一下学期期中复习备考精准测试卷---第二篇 专题提升卷
专题 2 三角形中的最值范围问题
类型解读
类型一 有关三角形边的最值范围问题
【典型例题】在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， ，
若 最长边为 ，则最短边长为（ ）
A．B．C．D．
【解决策略】
【答案】A
【分析】先结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得角 的正余弦，再利用三角形内角和为 和诱
导公式计算角 的正余弦，判断 c为最大边， 为最短边，利用正弦定理求出 即可.
【详解】由 知 ，利用同角三角函数基本关系可求得 ， ，
由 知 ，得 ， ，
∴，
，即 为钝角， 为最大角，故 c为最大边，有 ，由 知
1
，最短边为 ，于是由正弦定理 ，即 求得 。
【变式训练】在 中，内角 所对的边分别为 ．若
（1）求角 的大小；
（2）设 的中点为 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）.
【分析】（1）根据余弦定理的推论即可求出；
（2）设 ，在 中利用正弦定理用 的三角函数值表示出 ，再利用三角函数值域的求
法即可求出 的取值范围．
【详解】（1）因为 ，而 ，所以
（2）如图所示：
设 ，则 中，由 可知
θ∈
(
0,π
3
)
,由正弦定理及 ，可得
，所以 ，
由
θ∈
(
0,π
3
)
，可知，
2
，.
【点睛】本题第一问直接根据余弦定理的推论即可求出，第二问有两种思路，第一种转化为求 即
，在 中利用余弦定理以及两边之和大于第三边即可求出；第二种引入角参数 ，由正弦
定理用 的三角函数值表示出 ，再利用三角函数值域的求法即可求出 的取值范围，第二种方案
可以求解任意形如 的取值范围，解法更一般．
类型二 有关三角形角的最值范围问题
【典型例题】 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ，则 的取
值范围是___________.
【解决策略】
【答案】
【分析】由正弦定理及三角形内角性质得 ，可得 ，根据余弦定理，应用基本
不等式有 ，结合 A为三角形内角，即可求 的范围.
【详解】由正弦定理知： ，
∵，∴ ，即 ，又由余弦定理知：
当且仅当 时等号成立，而 ，∴ ，则
.
【变式训练】如图所示，某旅游景区的 ， 景点相距 ，测得观光塔 的塔底 在景点 的北偏
3
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