专题02函数的基本性质B辑（解析版）

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2021 年高考数学压轴必刷题（第二辑）
专题 02 函数的基本性质 B辑
1．设 是定义在 上的函数，其导函数为 ，若 ， ，则不等式
（其中 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
设 ，则 ，
函数单调递减， ，故 ，
，即 ，即 ，故 .
故选：D.
2．已知定义在 上的函数 满足： ，某同学由此前提条件出发，
然后又补充了一个附加条件，再经过推理，他得出四个结论，并且给其编号：①.若 时， 是
奇函数且一定是单调增函数；②.若 ， 是偶函数且有最大值为 1；③.若 ，则
；④.若 ，则 .请你确认该同学做出的所有编号中其中正确的是（
）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③④
1
【答案】D
由已知关系式 ，
对于序号①，∵ ，故令 ，得 ，则 ，
∴ 是奇函数，设 时，
由 不能保证推出 ，
故序号①不能肯定成立；
对于序号②，∵ 时，令 ，则 ，进而有 ，
∴ 是偶函数，此时不妨特取 ，显然有 ，即满足
，且 有最大值 1.
故序号②成立.
对于序号③来说，∵序号②正确，显然 ，有 ，故序号③ C正确.
对于序号④，∵ ，特取 ，
则 ，
进而有 ，整理得 ①.
且有 ②
由①②得 ，推得 ，又得 ，
∴ 是最小正周期为 6的周期函数，根据 ，特取 ，则
得.
2
再取 ，即 ，
解得 ，令 ， .
于是 ，
解得 .
∴.故序号④正确.
综上所述，本题正确的序号为②③④.
故选：D.
3
．
已知函数 与 的图象上存在两对关于直线 对称的点，则
的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
∵ 函数 与 的图象上存在两对关于直线 对称的点，∴ 函数
与函数 的图象有两个交点，即方程 ，
有两解，
即方程 ， 有两解，
令 ， ，
则 ，
当 时， ，函数 为减函数；
3
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