专题02复数（解析版）

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大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（上海卷）
专题 02 复数
1．【2015 年上海理科 15】设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（
）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】解：设 z1＝1+i，z2＝i，满足 z1、z2中至少有一个数是虚数，则 z1﹣z2＝1是实数，则 z1﹣z2是虚数
不成立，
若z1、z2都是实数，则 z1﹣z2一定不是虚数，因此当 z1﹣z2是虚数时，
则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，
故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，
故选：B．
2．【2012 年上海理科 15】若1
+
√
2
i是关于 x的实系数方程 x2+bx+c＝0的一个复数根，则（　　　　）
A．b＝2，c＝3 B．b＝﹣2，c＝3 C．b＝﹣2，c＝﹣1 D．b＝2，c＝﹣1
【答案】解：由题意 1
+
√
2
i是关于 x的实系数方程 x2+bx+c＝0
1+2∴
√
2
i2+﹣b
+
√
2
bi+c＝0
∴
{
−1+b+c=0
2
√
2+
√
2b=0
，解得 b＝﹣2，c＝3
故选：B．
3．【2020 年上海卷 03】已知复数 z＝1 2﹣i（i为虚数单位），则|z|＝　　．
【答案】解：由 z＝1 2﹣i，得|z|
¿
√
12+¿¿
．
故答案为：
√
5
．
4．【2019 年上海卷 02】已知 z∈C，且满足
i，求 z＝　 5﹣ i 　 ．
【答案】由
1
z−5=¿
i，得 z5﹣
¿1
i
，即 z＝5
+1
i=¿
5﹣i．
1
故答案为：5﹣i．
5．【2018 年上海 05】已知复数 z满足（1+i）z＝1 7﹣i（i是虚数单位），则|z|＝　　　　．
【答案】解：由（1+i）z＝1 7﹣i，
得
z=1−7i
1+i=(1−7i)(1− i)
(1+i)(1−i)=−6−8i
2=−3−4i
，
则|z|
¿
√
¿¿
．
故答案为：5．
6．【2017 年上海 05】已知复数 z满足 z
+3
z=¿
0，则|z|＝　　　　．
【答案】解：由 z
+3
z=¿
0，
得z2＝﹣3，
设z＝a+bi（a，b∈R），
由z2＝﹣3，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝﹣3，
即
{
a2−b2=−3
2ab=0
，解得：
{
a=0
b=±
√
3
．
∴
z=±
√
3i
．
则|z|
¿
√
3
．
故答案为：
√
3
．
7．【2016 年上海理科 02】设z
¿3+2i
i
，其中 i为虚数单位，则 Imz＝　　　　．
【答案】解：∵Z
¿3+2i
i=3i+2i2
i2=3i− 2
−1=¿
2 3﹣i，
∴Imz＝﹣3．
故答案为：﹣3．
8．【2015 年上海理科 02】若复数 z满足 3z
+z=¿
1+i，其中 i是虚数单位，则 z＝　　　　．
【答案】解：设 z＝a+bi，则
z=¿
a﹣bi（a，b∈R），
又3z
+z=¿
1+i，
3∴（a+bi）+（a﹣bi）＝1+i，
化为 4a+2bi＝1+i，
2
4∴a＝1，2b＝1，
解得 a
¿1
4
，b
¿1
2
．
∴z
¿1
4+1
2i
．
故答案为：
1
4+1
2i
．
9．【2014 年上海理科 02】若复数 z＝1+2i，其中 i是虚数单位，则（z
+1
z
）•
z=¿
　　　　．
【答案】解：复数 z＝1+2i，其中 i是虚数单位，
则（z
+1
z
）•
z=(1+2i+1
1−2i)⋅(1−2i)
＝（1+2i）（1 2﹣i）+1
＝1 4﹣i2+1
＝2+4
＝6．
故答案为：6
10．【2013 年上海理科 02】设m∈R，m2+m2+﹣（m21﹣）i是纯虚数，其中 i是虚数单位，则 m＝　　．
【答案】解：∵复数 z＝（m2+m2﹣）+（m1﹣）i为纯虚数，
∴m2+m2﹣＝0，m21≠0﹣，解得 m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
11．【2012 年上海理科 01】计算：
3− i
1+i=¿
　　　　（i为虚数单位）．
【答案】解：
3− i
1+i=(3−i)(1−i)
(1+i)(1− i)=2−4i
2=1−2i
故答案为 1 2﹣i
12．【2011 年上海理科 19】已知复数 z1满足（z12﹣）（1+i）＝1﹣i（i为虚数单位），复数 z2的虚部为
2，且 z1•z2是实数．则 z2＝　　　　．
【答案】解：∵（z12﹣）（1+i）＝1﹣i，
z12﹣
¿1−i
1+i=¿¿
i，
∴z1＝2﹣i，
3
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