专题02 正四面体模型（解析版）

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专题 02 正四面体模型（解析版）
一、解题技巧归纳总结
1．正四面体
如图，设正四面体 的的棱长为 ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 ，显然正四面体和
正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为 ，即正四面体外接球半径为 .
二、典型例题
例1．棱长为 2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形
（正四面体的截面）的面积是（ ）．
A．B．C．D．
【解析】如图球的截面图就是正四面体中的 ，
已知正四面体棱长为 2，
所以 ， ，
所以 ，
截面面积是：
故选：C．
例2．正四面体的棱长为 1，则其外接球的表面积为 .
1
【解析】解析：依题意，正四面体的外接球半径 ，其表面积为 ，故答案为 .
三、配套练习
1．棱长为 1的正四面体的外接球的半径为 　　
A．B．C．1 D．
【解析】已知正四面体 的棱长为 1，过 作 ，交 于 ，
作 平面 ，交 于 ，连结 ，设球心为 ，则 在 上，连结 ，
，，，
，
设球半径为 ，则 ，
，
解得 ．
故选： ．
2．棱长为 的正四面体的外接球和内切球的体积比是 　　
A．B．C．D．
2
【解析】把棱长为 的正四面体镶嵌在棱长为 的正方体内，
外接球和内切球的球心重合，为正方体的中心 ，
外接球的球半径为： ， ， ，
内切球的半径为： ，
外接球和内切球的半径之比为： ，
正四面体的外球和内切球的体积比是 ，
故选： ．
3．如图所示，在正四面体 中， 是棱 的中点， 是棱 上一动点， 的最小值为
，则该正四面体的外接球的体积是 　　
A．B．C．D．
【解析】将侧面 和 展成平面图形，如图所示：
设正四面体的棱长为
则 的最小值为 ，
3
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