专题02 圆锥曲线与内心问题-2021年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 20 4 1.83MB 34 页 3知币
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专题 2、圆锥曲线与内心问题
从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥
曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。
因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学
解题能力，增强学生的信心，备战高考．
三角形的内心：三角形三条角平分线的交点。
重要结论：I是
Δ ABC
的内心 (其中 a、b、c为
Δ ABC
的三条边)；
知识储备：三角形内切圆的半径求法：
（1）任意三角形： （其中 为三角形 ABC 的周长， 为三角形 ABC 的面积）；
（2）直角三角形： （其中 a，b为直角边，c为斜边）
经典例题：
例1．（2020.浙江高三期中）已知 是椭圆 上一点， ， 是椭圆的左，右焦点，点 是
的内心，延长 交线段 于 ，则 的值为（　　）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，点 是椭圆 上一点，过点 M 作 BM 垂直直线 于点 ，过点 I 作 垂直直
线 于点 ，设 的内切圆半径为 ，则 ，由三角形面积相等即：
1
得：
又 ，故得： ，所以 ，由椭圆方程
得： ， ， ，所以 由 与 相似，可得：
,令 ，则 ,可求得： ，故选 A．
【点睛】本题主要是利用三角形相似将所求的比值转化成三角形相似比问题，即构造两个三角形相似来处
理，对于内切圆问题通常利用等面积法列方程．即：即： =++（其中 是
的内切圆圆心） ，从而解决问题．
例2、（2020·江西高三期中（理））已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， 为椭
圆上不与左右顶点重合的任意一点， 是 的内心，当 时（其中 ， 分别为点 与
内心 的纵坐标），椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2
【答案】C
【分析】根据内切圆的性质利用等面积法求出内切圆的半径，即可得内切圆圆心的纵坐标，利用条件
化简方程，即可求出离心率.
【详解】设 ，不妨设 ，如图，设三角形内切圆的半径为 r，由三角形内切圆的性质可得:
，解得： ， ,
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，故选：C
【点睛】关键点点睛，利用内切圆的性质得到 是解题的关键，根据 及
，建立方程求出离心率，属于中档题.
例3．（2020·浙江温州中学高三）已知 为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上移动
时， 的内心 的轨迹方程为__________．
【答案】
【详解】考查更为一般的问题：设 P为椭圆 C:上的动点， 为椭圆的两个焦
点， 为△PF1F2的内心，求点 I的轨迹方程．
解法一：如图，设内切圆 I与F1F2的切点为 H，半径为 r，且 F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，
3
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