专题02 椭圆的参数方程（解析版）

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椭圆的参数方程
一、例题讲解
1.（2020·湖北·高考模拟） 已知曲线
C1
的参数方程为
{
x=
√
2cos φ，
y=
√
3 sin φ
（
φ
为参数），以原点
O
为极点，以
x
轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C2
的极坐标方程为
ρsin(θ − π
4)=1
．
求曲线
C1
的极坐标方程和曲线
C2
的直角坐标方程；
(2)
射 线
OM :θ=α(π
2<α<π)
与 曲 线
C1
交 于 点
M
， 射 线
ON :θ=α − π
4
与 曲 线
C2
交 于 点
N
， 求
1
¿OM∨¿2+1
¿ON ∨¿2¿¿
的取值范围．
【答案】解：
(1)
由曲线
C1
的参数方程
{
x=
√
2cos φ，
y=
√
3 sin φ
（
φ
为参数），
得：
cos2φ+sin2φ=¿
，即曲线
C1
的普通方程为
x2
2+y2
3=1
．
又
x=ρcos θ
，
y=ρsin θ
，曲线
C1
的极坐标方程为
3ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=6
，即
ρ2cos2θ+2ρ2=6
．
曲线
C2
的极坐标方程可化为
ρsin θ − ρ cos θ=
√
2
，故曲线
C2
的直角方程为
x− y+
√
2=0
．
(2)
由已知，设点
M
和点
N
的极坐标分别为
(ρ1, α)
，
(ρ2, α − π
4)
，其中
π
2<α<π
，
则
¿OM ¿2=ρ1
2=6
cos2α+2
，
¿ON ¿2=ρ2
2=1
sin 2(α − π
2)
=1
cos2α
．
于是
1
¿OM∨¿2+1
¿ON ∨¿2=cos2α+2
6+cos2α=7 cos2α+2
6¿
¿
．
由
π
2<α<π
，得
−1<cos α<0
，
故
1
¿OM∨¿2+1
¿ON ∨¿2¿¿
的取值范围是
(1
3,3
2)
．
2.（2019-2020·广东·高考模拟） 在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的方程为
x2
12 +y2
4=1
，以原点
O
为极点，
x
轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线
l
的极坐标方程为
√
2ρcos
(
θ − π
4
)
=a
(
a>0
)
.
1
求直线
l
的直角坐标方程；
(2)
已知
P
是曲线
C
上的一动点，过点
P
作直线
l1
交直线
l
于点
A
，且直线
l1
与直线
l
的夹角为
45∘
，若
¿PA∨¿
的最
大值为
6
，求
a
的值．
【答案】解：
(1)
由
√
2ρcos
(
θ − π
4
)
=a
，得
√
2ρ
(
cos θcos π
4+sin θsin π
4
)
=a
，
∴ρcos θ+ρsin θ=a
，
∵x=ρcos θ
，
y=ρsin θ
，
∴
直线
l
的直角坐标方程为
x+y=a
，即
x+y − a=0
．
(2)
依题意可知曲线
C
的参数方程为：
{
x=2
√
3 cos α ,
y=2 sin α
（
α
为参数），设
P
(
2
√
3 cos α , 2sin α
)
，
则点
P
到直线
l
的距离为：
d=
|
2
√
3 cos α+2sin α −a
|
√
2=
|
4
(
√
3
2
cos α+1
2
sin α
)
− a
|
√
2=
|
4 sin
(
α+π
3
)
−a
|
√
2
．
∵a>0
，
∴
当
sin
(
α+π
3
)
=−1
时，
dmax=
|
−4− a
|
√
2
．
依题意得
|
PA
|
=
√
2d
，
∴
|
PA
|
的最大值为
√
2dmax=6
，即
√
2×
|
−4−a
|
√
2=6
．
∵a>0
，
∴
解得
a=2
．
3.（2019-2020·湖南·高考模拟） 在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
{
x=tcos β
y=−2+tsin β
（
t
为参数，
β
为直线
l
的倾斜角），曲线
C
的参数方程为
{
x=2 cos α ,
y=sin α ,
（
α
为参数）.
当直线
l
的倾斜角为
π
3
时，求直线
l
的直角坐标方程及曲线
C
的普通方程；
(2)
设
M
为直线
l
恒过的定点，当倾斜角为
π
4
时，
l
和
C
交于
A
，
B
两点，
N
为
AB
的中点，求三角形
OMN
的面积．
【答案】解：
(1)
当
β=π
3
时，
{
x=1
2t，
y=−2+
√
3
2t，
消去
t
，得直线
l
的直角坐标方程为
√
3x− y −2=0
．
{
x=2 cos α，
y=sin α，
（
α
为参数），得
x2
4+y2=cos2α+sin2α=1
.
所以曲线
C
的普通方程为
x2
4+y2=1
．
(2)
当直线
l
的倾斜角为
π
4
时，可得直线
l
的参数方程为
{
x=
√
2
2t，
y=−2+
√
2
2t，
p所以
M
(
0,− 2
)
.
2
代入
x2
4+y2=1
，得
5t2−16
√
2t+24=0
.
Δ=
(
16
√
2
)
2−4×5×24>0
，
设
A
，
B
对应的参数分别为
t1, t2
，则
t1+t2=16
√
2
5
，则
N
对应的参数为
t1+t2
2=8
√
2
5
所以
¿MN ∨¿8
√
2
5
，所以
S△OMN =1
2∨MN ∨⋅∨MO∨sin π
4=8
5
.
4.（2018·吉林·高考模拟） 已知圆锥曲线
{
x=3 cos θ
y=2
√
2sin θ
（
θ
是参数）和定点
A(0,
√
3
3)
，
F1
、
F2
是圆锥曲线的
左、右焦点．
（1）求经过点
F2
且垂直地于直线
A F1
的直线
l
的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线
A F2
的极坐标方程．
【答案】（1）圆锥曲线
{
x=3 cos θ
y=2
√
2sin θ
化为普通方程
x2
9+y2
8=1
，
所以
F1(−1,0)
，
F2(1,0)
，则直线
A F1
的斜率
k=
√
3
3
，
于是经过点
F2
垂直于直线
A F1
的直线
l
的斜率
k1=−
√
3
，直线
l
的倾斜角是
120∘
，
所以直线
l
的参数方程是
{
x=1+tcos 120
y=tsin 120
（
t
为参数），即
{
x=−1
2t+1
y=
√
3
2t
（
t
为参数）．
（2）直线
A F2
的斜率
k=−
√
3
3
，倾斜角是
150∘
，设
P(ρ , θ)
是直线
A F2
上任一点，
则
ρ
sin 30 =1
sin (150 −θ)
，
ρsin (150∘−θ)
＝
sin 30∘
，
所以直线
A F2
的极坐标方程：
√
3ρsinθ+ρcos θ=1
．
5.（2018·山东·高考模拟） 已知曲线
C：4x2
9+y2
16 =1
，直线
l：
{
x=3+t
y=5−2t(t为参数)
（1）写出曲线
C
的参数方程，直线
l
的普通方程．
（2）设曲线
C
上任意一点
P
到直线
l
的距离为
d
，求
d
的最大值与最小值．
【答案】（1）曲线曲线
C：4x2
9+y2
16 =1
的参数方程
{
x=3
2
cos θ
y=4 sin θ
（
θ
为参数），直线的普通方程
2x+y −11=0
p
... 5
分
（2）曲线p上任意一点
P(3
2
cos θ ,sin θ)
到直线
l
的距离为p
d=
√
5
5∨3 cos θ+4 sin θ −11∨¿
，
3
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