专题02 求平面向量数量积的方法大全（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 13 4 237.68KB 6 页 3知币
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专题 02 求平面向量数量积的方法大全
平面向量数量积运算是四种运算中应用最多的，也是较复杂的，因此我们应该注意求数量积的方法。
方法一般可以归纳为定义法、基底法、建系法三种，先结合实例阐述如下：
一、 定义法
直接由数量积的定义求出数量积，数量积的定义有坐标形式和非坐标形式两种，非坐标形式为
，坐标形式为 。
例1．已知|a|＝3，|b|＝6，当① a∥b，② a⊥b，③ a与b的夹角是 60°时，分别求 a·b；
解：(1)①当a∥b时，若 a与b同向，则它们的夹角 θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝3×6×1＝18.
若a与b反向，则它们的夹角 θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18.
②当a⊥b时，它们的夹角 θ＝90°，∴a·b＝0.
③当a与b的夹角是 60°时，有 a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×＝9.
变式.在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求AB·BC.
解：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，故 BC＝3，且 cos∠ABC＝，
AB与BC的夹角 θ＝180°－∠ABC，∴AB·BC＝－|AB||BC|cos∠ABC＝－5×3×＝－9.
例2．已知向量
a
＝(1,3)，
b
＝(2，－2)．
(1)设
c
＝2
a
＋
b
，求(
b
－
a
)·
c
；(2)求向量
a
在
b
方向上的投影．
解：(1)由
a
＝(1,3)，
b
＝(2，－2)，可得
c
＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，
b
－
a
＝(1，－5)，则(
b
－
a
)·
c
＝4－20＝－16.
(2)向量
a
在
b
方向上的投影为＝＝－.
变式.已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在 x 轴上有一点 P，使AP·BP有最小值，则点 P 的坐标是(　　)
A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)
解析：C 设点 P(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，
∴AP·BP＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当 x＝3 时，AP·BP最小，
此时点 P 的坐标为(3,0)．
二、基底法
例3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是____
____．
解析：22　因为AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝AD－AB，所以AP·BP＝(AD＋AB)·(AD－AB)
＝|AD|2－|AB|2－AD·AB＝2，将 AB＝2，AD＝5代入解得AD·AB＝22.
变式. 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，AM＝2MD，如果AC·BM＝－3，则AB·AD
＝________．
1
解析： 　 设∠DAB＝θ，因为 AB∥CD，所以∠D＝180°－θ.因为AM＝2MD，所以AC·BM＝(AD－
CD)·(AM－AB)＝(AD－CD)·(AD－AB)＝|AD|2－AD·AB－CD·AD＋CD·AB＝|AD|2－|AD|·|AB|·cos θ－|CD|
·|AD|cos(180°－θ)＋|CD|·|AB|·cos 180°＝×32－3×4cos θ＋×2×3cos θ－2×4＝－2－8cos θ＝－3，所以 cos θ
＝.AD·AB＝|AD|·|AB|cos θ＝3×4×＝.
三、建系法
例4.如图，在△ABC 中，AD⊥AB，BC＝BD，＝1，则AC·AD＝________
解析：　 解法 1（建系法）：建立如图所示的平面直角坐标系．令点 B(xB，0)，
C(xC，yC)，D(0，1)，所以BC＝(xC－xB，yC)，BD＝(－xB，1)．因为BC＝BD，
所以所以 xC＝(1－)xB，yC＝.所以AC＝((1－)xB，)，
AD＝(0，1)，则AC·AD＝.
解法 2（基底法）：
.
点评：本题显然解法 2 比解法 1 更简洁些！不少题目既可用基底法也可用建系法，不好建立坐标系时一般
用基底法，好建立坐标系时，一般建系法比基底法要简洁些。
变 式 . 在△ABC 中 ， ∠ A＝90° ，AB ＝1，AC ＝2. 设 点 P，Q满 足 AP ＝λAB ，AQ ＝(1 －
λ)AC，λ∈R，BQ·CP＝－2，则 λ的值为__________.
解析： 　 以 A为原点，AB 所在的方向为 x轴，AC 所在的方向为 y轴，建立平面直角坐标系，则
A(0，0)，B(1，0)，C(0，2)，所以AP＝λAB＝λ(1，0)＝(λ，0)，AQ＝(1－λ)×(0，2)＝(0，2－2λ)．因为
BQ＝AQ－AB＝(0，2－2λ)－(1，0)＝(－1，2－2λ)，CP＝AP－AC＝(λ，0)－(0，2)＝(λ，－2)，所以
BQ·CP＝(－1，2－2λ)·(λ－2)＝－λ－2(2－2λ)＝－2，解得 λ＝.
四、投影法、利用平方差公式等
例5．已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E是AB 边上的动点，则DE·CB的值为________，DE·DC的最大值
为________．
解法 1（投影法）：设向量DE，DA的夹角为 θ，则DE·CB＝DE·DA＝|DE|·|DA|cosθ，由图可知，|DE|cosθ
＝|DA|，所以原式等于|DA|2＝1，要使DE·DC最大只要使向量DE在向量DC上的投影达到最大即可，因为DE
在向量DC上的投影达到最大为|DC|＝1，所以(DE·DC)max＝|DC|2＝1.
2
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