专题02 求轨迹方程问题（第五篇）（解析版）

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第五篇 解析几何
专题 02 求轨迹方程问题
类型 对应典例
直接法求轨迹方程 典例 1
定义法求轨迹方程 典例 2
几何法求轨迹方程 典例 3
相关点法求轨迹方程 典例 4
【典例 1】【湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019 届高三上学期期末考试】已知点 ，点
为曲线 C上的动点，过 A作x轴的垂线，垂足为 B，满足 ．
（1）求曲线 C的方程；
（2）直线 l与曲线 C交于两不同点 P，Q（非原点），过 P，Q两点分别作曲线 C的切线，两切线的交点
为M．设线段 的中点为 N，若 ，求直线 l的斜率．
【思路引导】
（1）将 坐标化，化简求得结果.
（2）设直线 的方程为： ，与抛物线方程联立得 ，由韦达定理求得中点 N
的坐标，由导数的几何意义可求得过 点的切线方程，联立求得交点 的坐标，得到 ,所以
MN 中点纵坐标为 1，即 2，进而求得 k.
【详解】
（1）由 得：
化简得曲线 的方程为 .
1
（2）由题意可知直线 l的斜率存在，
设直线 的方程为： ，联立 得：
设 ， ，则 ，
设 ，则 ，
又曲线 的方程为 ，即 y= , = ，
∴过 点的切线斜率为 ，切线方程为 y- ，即 y=
同理，过 点的切线方程为 y= ，
联立两切线可得交点 的坐标为 ，
所以 ,又因为 ，所以 MN 中点纵坐标为 1，即 2
,k= ,故直线 的斜率为 k=
【典例 2】【广东省梅州市 2020 届质检】已知过定点 的动圆是 与圆 相内切.
（1）求动圆圆心 的轨迹方程；
（2）设动圆圆心 的轨迹为曲线 ， 是曲线 上的两点，线段 的垂直平分线过点 ，求
面积的最大值（ 是坐标原点）.
【思路引导】
(1)由题易知， 可得 为定值，利用椭圆的定义求得结果；
2
(2)设 所在直线方程为 椭圆联立，表示出 AB 的长度和 到直线 的距离 ，求得
的面积 ，再由题 k与b的关系，可得答案.
【详解】
解:(1)圆 的圆心为 ,半径为 ,
设圆 的半径为 ,由题意知点 在圆 内.
可得
所以点 的轨迹是以 ,为焦点,长轴长为 的椭圆,
得
所以动圆圆心 的轨迹方程为
(2)显然 不与 轴垂直,设 所在直线方程为 可得
可得 ……①设 ,
则 是方程①的两不相等的实根,得
得
3
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