专题02 平面向量解析三角形的“四心”（解析版）

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专题 02 平面向量解析三角形的“四心”
一．“四心”的概念介绍及平面向量表示
1. 重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2：1.
⃗
OA +
⃗
OB +
⃗
OC =
⃗
0⇔
O
是
Δ ABC
的重心.
O
A
B
C
D
E
2. 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直.
⃗
OA⋅
⃗
OB=
⃗
OB⋅
⃗
OC=
⃗
OC⋅
⃗
OA ⇔
为 的垂心.
3. 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
设
a
,
b
,
c
是三角形的三条边长，
O
是 的内心.
a
⃗
OA +b
⃗
OB +c
⃗
OC =
⃗
0⇔O
为 的内心.
4. 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等．
|
⃗
OA|=|
⃗
OB|=|
⃗
OC|
⇔
O
为 的外心.
二．考点讲解
考点一：三角形的重心
例 1：在 中，已知 ， ， 为 的重心，用向量 表示向量 ______.
【答案】
【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.
O
A
B
C
D
E
1
【详解】由重心的性质可知 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.
例 2：若 是 内部一点，且满足 ，则 与 的面积比为_______.
【答案】
【分析】利用向量的加法运算得出 ，取 的中点为 ，进而得出点 为 的重心，
根据重心的性质即可得出答案.
【详解】
取 的中点为 ，则
即 ，则点 为 的重心
根据重心的性质可得，点 到 的距离是点 到 的距离的
则
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.
考点二：三角形的垂心
2
例 3：已知点 是 所在平面内一点，且满足 ，则直线
必经过 的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】两边同乘以向量 ，利用向量的数量积运算可求得 从而得到结论．
【详解】
两边同乘以向量 ,得
即点 P在BC 边的高线上，所以 P的轨迹过△ABC 的垂心，
故选 D.
【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．
考点三：三角形的内心
例 4： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ，
，则 点的轨迹一定经过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】先根据 、 分别表示向量 、 方向上的单位向量，确定 的方向与
3
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