专题02 排列组合中“重复”的产生及纠正（解析版）

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排列组合中“重复”的产生及纠正

有些类型的排列、组合应用题是较容易出现错误的，其中产生错误的原因之一是由于重复造成的。在

解题时，应做到既不出现重复，又不能减少。出现“重复”主要有以下几种情形。

1.均分组问题易重复

例1.将8个不同的小球分成四堆，每堆 2个，共有多少种不同的分堆方法？

错解：分四步完成。首先，从 8个不同的小球中任意取出 2个作为一堆，有种取法；然后，从剩余的 6

个小球中任意取出 2个作为一堆，有种取法；再从剩下的 4个小球中任取 2个作为一堆，有种取法；

最后，留下的 2个作为一堆，有种取法。根据分步计数原理，不同的分堆方法共有

种。

正解：从8个不同的小球中任意取出 2个，有种取法；然后从剩余的 6个小球中任意取出 2个，有

种取法；再从剩下的 4个小球中任取 2个，有种取法；最后剩下的 2个作为一堆有种取法。所以不

同的分堆方法共有种。

错因分析：将8个不同的小球编号，其号码分别为 1,2,3，…，8.第一种取法：第一次取出 1、2号小球，

第二次取出 3、4号球，第三次取出 5、6号球，第四次取出 7、8号球，分成了四组。第二种取法：第一次

取出 7、8号球，第二次取出 1、2号球，第三次取出 3、4号球，第四次取出 5、6号球，分成了四组，不

难看出这两种取法是同一分组方法。故出现重复，导致错误。

变式.在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待, 现将其中的五个参会国的

人员安排酒店住宿, 这五个参会国要在 a,b,c 三家酒店选择一家, 且每家酒店至少有一个参会国入住, 则

这样的安排方法共有(　　)

A.96 种 B.124 种 C.130 种 D.150 种

解析：D. 根据题意,分2步进行分析:① 五个参会国要在 a,b,c 三家酒店选择一家,且这三家至少有一个参会

国入住,所以可以把 5个国家人分成三组,一种是按照 1,1,3;另一种是 1,2,2,当按照 1,1,3 来分时共有

种分组方法;当按照 1,2,2 来分时共有种分组方法;则一共有种分组方法.② 将分好

的三组对应三家酒店,有种对应方法;则安排方法共有 25×6 150 种.

2.多个位置要求兼顾的排列问题易重复

例2.6人排成一排照相，甲不排在左端，乙不排在右端，共有多少种不同的排法？

错解：6个人任意排成一排排法的总数为种，其中不合题意的排法分两类。第一类：甲排在左端，其

余5个人排在剩下的 5个位置上，有种排法；第二类：乙排在右端，其余 5个人排在剩下的 5个位置上，

有种排法。所以适合题意的排法有种。

正解：6人全排列为种，减去不符合题意的两种：甲在左端有种，乙在右端有种，再补上多减

去的甲在左乙在右的一类排法种，所以适合题意的排法有种。

错因分析：甲在左端和乙在右端的排法种都包含了甲在左乙在右的情形，故应将多减的再加上。

变式.甲、乙、丙、丁、戊 5 名学生进行投篮比赛,决出了第 1 至第 5 名的不同名次,甲、乙两人向裁判询

问成绩,裁判对甲说:“很遗憾,你和乙都未拿到冠军.”对乙说:“你当然不是最差的.”根据裁判的回答,5

人的名次排列共有________种不同的情况.(　　)ò

A.54　　　 B.108　　　 C.210　　　 D.96

解析：A. 第一名不是甲和乙,则只能是丙、丁、戊三人中某一个,有种选法,而乙不是最差的,则乙只

可能是第二、三、四名,有种可能,再将剩下的三人排成一列,依次插入即可,由分步乘法计数原理可知,

共有 =54 种不同的情况.

3.不同元素进盒，先分堆再排列

例3.5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一人，有几种不同的分配方法？

错解：先从 5个老师中选出 3人平均分配到3个班，有种排法；再将第 4位教师分配到一个班有3种方

法；再将第 5位教师分配到一个班有3种方法。故共有种

分配方法。

正解：先把 5位老师分成 3堆，有两种分堆方法：3、1、1分布，有种；1、2、2分布，有种。

再排列到 3个班里有种，故共有种不同的分配方法。

错因分析：不同的老师不可分批进入同一个班，需一次到位（否则有重复计数），即“同一盒内的元素

必须一次进入”。

变式. 安排 3名志愿者完成 4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由 1人完成，则不同的安排方式共有(

)

A.12 种B.18 种C.24 种D.36 种

解析：答案：D 第一步：将 4项工作分成 3组，共有种分法；第二步：将 3组工作分配给 3名志愿

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