专题02 利用导数求函数的单调性（第六篇）（解析版）

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第六篇 函数与导数
专题 02 利用导数求函数的单调性
类型 对应典例
不含参数的函数单调性 典例 1
含参函数中主导函数是一次函数 典例 2
含参函数中主导函数是类一次函数 典例 3
含参函数中主导函数是二次函数（不能因式分解） 典例 4
含参函数中主导函数是二次函数（能因式分解） 典例 5
含参函数中主导函数是类二次函数 典例 6
利用函数单调性求参数取值范围 典例 7
【典例 1】【广东省茂名市 2020 届模拟】已知函数 在 处的切线与直线
平行．
(1)求实数 的值，并判断函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
【思路引导】
（1）由 可得 ，利用导数可求 的单调区间.
（2）由 可得 ， ，令 ，则 且
，构建新函数 ，利用导数可以证明 即 .
1
【详解】
（1）函数 的定义域： ，
，解得 ，
，
令 ，解得 ，故 在 上是单调递减；
令 ，解得 ，故 在 上是单调递增.
（2）由 为函数 的两个零点，得
两式相减，可得
即 ， ，
因此 ，
令 ，由 ，得 .
则 ，
2
构造函数 ，
则
所以函数 在 上单调递增，故 ，
即 ，可知 .故命题 得证.
【典例 2】【湖南省郴州市 2019 届高三第三次质量检测】已知函数
f(x)=x−aln x−b
.
（1）讨论函数
f(x)
的单调性.
（2）若
∀x>0
，
f(x)≥0
，求
ab
的最大值.
【思路引导】
（1）求出导数，讨论参数 a的取值;（2）构造新函数，把双变量问题转化为单变量.
【详解】
解：（1）函数
f(x)
的定义域为
，由
f(x)=x−aln x−b
，得
f ' (x)=1−a
x=x−a
x
，
当
a ≤ 0
时，
f ' (x)>0
，所以函数
f(x)
在
(0,+∞)
上单调递增.
当
a>0
时，则
x∈(0, a)
时，
f ' (x)<0
，函数
f(x)
在
(0, a)
上单调递减；
x∈(a ,+∞)
时，
f ' (x)>0
，函数
f(x)
在
(a ,+∞)
上单调递增.
（2）由（1）可知，当
a<0
时，函数
f(x)
在
(0,+∞)
上单调递增，当
x → 0
时，
f(x)→−∞
与
f(x)≥0
相矛
盾；
当
a=0
时，
∀x>0
，
f(x)≥0
，所以
b ≤ 0
，此时
ab=0
.
当
a>0
时，函数
f(x)
在
(0, a)
上单调递减，函数
f(x)
在
(a ,+∞)
上单调递增.
f(x)min=f(a)=a−aln a−b ≥0
，即
a−aln a ≥ b
，
则
ab ≤ a2−a2ln a(a>0)
.
令
F(x)=x2−x2ln x(x>0)
，则
F ' (x)=x(1−2 ln x)
.
令
F ' (x)>0
，则
0<x<
√
e
，令
F ' (x)<0
，则
x>
√
e
，
当
x=
√
e
时，
F(x)max=e
2
，
即当
a=
√
e
，
b=
√
e
2
时，
ab
的最大值为
e
2
.
3
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