专题02 空间向量与立体几何（解答题）（10月）（人教A版2019）（解析版）2020-2021学年高二《新题速递•数学》（人教A版2019）

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专题 02 空间向量与立体几何（解答题）
一、解答题
1．（浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟 2020-2021 学年高三上学期返校联考）如图，在
三 棱 台 中 ， 平 面 平 面 ， ， ，
．
（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：设 ，则 ，又 ，
由余弦定理知： ．由勾股定理的逆定理知： ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ ．
（2）令 ，则 ，
又 ， ，由余弦定理知： ，
∴ ，∴ ，∴ 平面 ，∴ ，
1
∴ ，如图，以 点为原点，建立空间直角坐标系
， ， ，
设点 为 ，则
得到： ．∴ ，∴ ，
设平面 的法向量为 ，
，得到 ，
又 ，∴ ．
2．（重庆市南开中学 2020 届高三下学期第九次教学质量检测数学（理））如图，直三棱
柱 中， ， ， 、 分别为 、 的中点．
2
（1）证明： 平面 ；
（2）若直线 与 所成的角为 ，求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）取 中点 ，连接 、 ，
， 为 的中点， ，
在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ．
、 分别为 、 中点， ， ，
为 中点， ， ， ， ，
四边形 为平行四边形， ，所以 平面 ；
（2）设 ， ， 为异面直线 、 所成的角，
， ，
以 为坐标原点，以 、 、 所在的直线分别为 、 、 轴建立如图所示空间
3
专题02 空间向量与立体几何（解答题）（10月）（人教A版2019）（解析版）2020-2021学年高二《新题速递•数学》（人教A版2019）.docx

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