专题02 几何图形的多结论问题（解析版）

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专题二几何图形的多结论问题

【专题解读】几何类多结论判断题考查的知识点较多，主要以圆和四边形为核心开放研究

型问题，所谓“开放”简单来说就是答案不唯一的，解题的方向不确定，条件或者结论不

止一种情况的试题，解答此类试题时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽

量找到解决问题的方法，根据开放性的试题的特点，主要有如下几种类型：条件开放性、

结论开放性、选择开放型、综合开放型，属于中考必考题型.

（2020•广东二模）如图，已知▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，DE 平分∠ADC

交BC 于点 E，交 AC 于点 F，且∠BCD＝60°，BC＝2CD，连结 OE．下列结论：

①OE∥AB；② S平行四边形 ABCD＝BD•CD；③ AO＝2BO；④ S△DOF＝2S△EOF．

其中成立的个数有（　C　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【思路点拨】 ①证明 BE＝CE，OA＝OC，根据三角形中位线定理可得结论正确；

②证明BD⊥CD，可得结论正确；

③设AB＝x，分别表示 OA 和OB 的长，可以作判断；

④ 先根据平行线分线段成比例定理可得：DF＝2EF，由同高三角形面积的比等于对应底边

的比可作判断．

【自主解答】 ①∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，

∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝60°，∴∠ADC＝120°，

∵DE 平分∠ADC，∴∠CDE＝60°＝∠BCD，

∴△CDE 是等边三角形，∴CE＝CD，

∵BC＝2CD，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE∥AB；故①正确；

②∵△DEC 是等边三角形，∴∠DEC＝60°＝∠DBC+∠BDE，

∵BE＝EC＝DE，∴∠DBC＝∠BDE＝30°，

∴∠BDC＝30°+60°＝90°，∴BD⊥CD，∴S平行四边形 ABCD＝BD•CD；故②正确；

③设AB＝x，则 AD＝2x，则 BD

√

x，∴OB

√

，

由勾股定理得：AO

√

x2+¿¿

x，故③不正确；

④∵AD∥EC，∴

EC =DF

EF =2

，∴DF＝2EF，∴S△DOF＝2S△EOF．

故④正确；故选：C．

1．（2020•深圳模拟）在边长为 2的正方形 ABCD中，P为AB 上的一动点，E为AD中点，

PE 交CD 延长线于 Q，过 E作EF⊥PQ 交BC 的延长线于 F，则下列结论：①

△APE≌△DQE；② PQ＝EF；③当 P为AB中点时，CF

√

；④若 H为QC 的中点，当 P

从A移动到 B时，线段 EH 扫过的面积为 1，其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【接卸】①∵四边形 ABCD 是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠ADC＝90°，

∴∠A＝∠EDQ＝90°，∵E为AD中点，∴AE＝ED，

在△APE 和△DQE 中，

{

∠A=∠EDQ

AE=ED

∠AEP=∠DEQ

，

∴△APE≌△DQE（ASA），故①正确；

②作PG⊥CD 于G，EM⊥BC 于M，如图 1所示：

∴∠PGQ＝∠EMF＝90°，∵EF⊥PQ，

∴∠PEF＝90°，∴∠PEM+∠MEF＝90°，

∵∠GPE+∠MEP＝90°，∴∠GPE＝∠MEF，

在△EFM 和△PQG 中，

{

∠EMF=∠PGQ

EM=PG

∠MEF=∠GPQ

，∴△EFM≌△PQG（ASA），

∴EF＝PQ，故②正确；③连接 QF，如图 2所示：

则QF＝PF，PB2+BF2＝QC2+CF2，

设CF＝x，则（2+x）2+12＝32+x2，∴x＝1，故③错误；

④如图3所示：当 P在A点时，Q与D重合，QC 的中点 H在DC 的中点 S处，

当P运动到 B时，QC 的中点 H与D重合，

故EH 扫过的面积为△ESD 的面积为

，故④错误；故选：B．

2．（2020•灌南县一模）如图，正方形 ABCD中，E、F分别为 BC、CD 的中点，AF 与DE

交于点 G．则下列结论中：① AF⊥DE；② AD＝BG；③ GE+GF

√

2GC

；④ S△AGB＝2S四边

形ECFG．其中正确的是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【解析】∵正方形 ABCD，E，F均为中点,∴AD＝BC＝DC，EC＝DF

¿1

BC,

∵在△ADF 和△DCE 中，

{

AD=DC

∠ADF=∠DCE

DF=CE

，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD＝

∠DEC，∵∠DEC+∠CDE＝90°，∴∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DGF，∴AF⊥DE，故①正确；

如图 1，过点 B作BH∥DE 交AD 于H，交 AF 于K，∵AF⊥DE，BH∥DE，E是BC 的中

点，∴BH⊥AG，H为AD 的中点，

∴BH 是AG 的垂直平分线，∴BG＝AB＝AD，故②正确，

如图 2，延长 DE 至M，使得 EM＝GF，连接 CM，

∵∠AFD＝∠DEC，∴∠CEM＝∠CFG，

又∵E，F分别为 BC，DC 的中点，∴CF＝CE，

∵在△CEM 和△CFG 中，

{

CE=CF

∠CEM =∠CFG

EM =FG

，∴△CEM≌△CFG（SAS），

∴CM＝CG，∠ECM＝∠GCF，∵∠GCF+∠BCG＝90°，

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