专题02 集合与常用逻辑用语（知识梳理）-2020-2021学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

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1. 知识系统整合

2. 规律方法收藏

1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题

的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保

答案正确.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，

求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助 Venn 图.这是数形结合思想的

又一体现.

4.充分、必要条件与集合的关系，p，q成立的对象构成的集合分别为 A和B.

(1)若A⊆B，则 p是q的充分条件，q是p的必要条件.

(2)若A B，则 p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

(3)若A＝B，则 p是q的充要条件.

5.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要

条件是 q”等语言.

6.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，

并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”.

3 学科思想培优

一、数学抽象

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要表现为：获得数

学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系．在本章中，主

要表现在集合概念的理解及应用中.

【典例 1】(1)已知集合 A＝{0，1，2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．3

C．5 D．9

(2)若－3∈{x－2，2x2＋5x，12}，则 x＝________．

【答案】(1)C　(2)－

【解析】(1)①当x＝0时，y＝0，1，2，此时 x－y的值分别为 0，－1，－2；

②当x＝1时，y＝0，1，2，此时 x－y的值分别为 1，0，－1；

③当x＝2时，y＝0，1，2，此时 x－y的值分别为 2，1，0.

综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共 5个，故选 C.

(2)由题意知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.

①当x－2＝－3时，x＝－1.

把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3，12，不满足集合中元素的互异性；

②当2x2＋5x＝－3时，x＝－或 x＝－1(舍去)，

当x＝－时，集合的三个元素为－，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知 x＝－ .

二、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运

算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．在本章中，主要表现在集合的交、并、补

运算中.

【典例 2】(1)设集合 A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若 A∩B＝{1}，则 B＝(　　)

A．{1，－3} B．{1，0}

C．{1，3} D．{1，5}

(2)若集合 A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则 A∩B＝(　　)

A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}

C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}

【答案】(1)C　(2)A

【解析】(1)由A∩B＝{1}得1∈B，

所以 m＝3，B＝{1，3}．

(2)A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．

(3)已知集合 A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．

①求A∪B，(∁RA)∩B；

②若A∩C≠∅，求 a的取值范围．

【解析】①因为 A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，

所以 A∪B＝{x|2≤x＜10}．

因为 A＝{x|2≤x＜7}，

所以∁RA＝{x|x＜2或x≥7}，

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