专题02 函数周期性问题（解析版）
高考数学必备考试技能之“二级结论*提高速度”原创精品【2020 版】
结论二:函数周期性问题
结
论
已知定义在 R上的函数 f(x),若对任意 x∈R,总存在非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x),则称 f(x)是周期
函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:
(1)如果 f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.
(2)如果 f(x+a)=
1
f(x)
(a≠0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.
(3)如果 f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=2a.
(4)如果 f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么 f(x)是周期函数,其中的一个周期 T=6a.
解
读
这个结论通过周期函数的定义得到，用
x+a
代换等式中的
x
构造出来
f
(
x
)
=f
(
x+T
)
的形式，然
后利用周期函数的定义即可得到结论.
典
例
已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，则
A．B．
C． D．
解
析
因为 满足 ，所以 ，
所以函数 是以 8为周期的周期函数，
则.
由 是定义在 上的奇函数，
1
且满足 ，得 .
因为 在区间 上是增函数，且在 上的奇函数，所以 在区间 上是增函数，
所以 ，即 .
反
思
本题考查了的函数性质，通过函数的奇偶性和周期性求函数的值。在比较 ， ， ，
的大小时，首先应该根据函数 的奇偶性与周期性将 ， ， ， 通
过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
针对训练*举一反三
1．定义在 上的偶函数 满足 当 时, ,则( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 周期为 2，
因为当 时, 单调递增，所以 单调递增，
因为 ，所以 单调递减，
2
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