专题02 函数的定义域、值域、解析式（教案）-2021届沪教版高考数学一轮复习（上海专用）

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2021 届高考数学一轮复习
专题 02 函数的定义域 值域 解析式
一、函数定义域
做题素养：优先考虑定义域，特别是换元法新元的定义域容易忽视
定义域：自变量 x的取值范围
1、抽象法则定义域
例题 1
a. 已知 f(x+3)的定义域为（2,3）,求f（x）的定义域
【答案】（5，6）
b. 已知 f(x)的定义域为（2,3）,求f（x+3）的定义域
【答案】（-1，0）
c. 已知 f(x+2)的定义域为（1,2）,求f（2x+1）的定义域
【答案】（1，
3
2
）
总结：以上三种定义域的求法，可利用换元法，例如（例 1-b），令 t=x+3，复
合函数（内外函数）思想理解，化抽象为具体。
2、未知区间转化到已知区间（转化思想）
例题 2
a.基础题
已知函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，且当 x≥0 时，f（x）=x2-2x，则
y=f（x）在 R上的解析式为_________。
【答案】f（x）=x（|x|-2），x∈R（切记定义域，属于 R也要写）
b.衍化题
定义在实数集 R上的函数 f（x）满足 f（3+x）=f（3﹣x），当 x∈（0，3）时，
f（x）=2x，则 f（x）在区间（3，6）上的解析式是 f（x）=　　　　　　
1
【答案】26﹣x
要点提示：未知区间转化到已知区间，在这里有个重要技巧，一个区间向另一
个区间转化的技巧：
两种方法：①区间减去一个数；②一个数减去这个区间
例如：区间（3，6）转化为（0，3），①可令（3，6）-3，即 x∈（3，6），x-
3∈
（0，3）；② 6-（3，6），即 x∈（3，6），6-x∈（0，3）。
解题时这两种方法的灵活使用要因题而用，活学活用。
3、定义域在已知中潜移默化发生改变
例3、已知
 
22, ( ) 2
2
x x
f x g x x
x
 
，
   
( )H x f x g x 
。
（1）写出 的解析式与定义域；
（2）试讨论方程
( 1) 2H x m  
的根的个数。
【 答 案 】 （ 1）
( )H x
的 定 义 域 为
 
2x x  
，
（2）
时，方
程有一解；
m∈
(
2,10
)
时，方程有两解；
m∈
(
−∞,2
)
时，方程无解。
4、内外函数（复合函数）的定义域的求解
例题 4、函数 的定义域是：（ ）
2
A. B. C. D.
【答案】D
二、函数值域
1、单调性法
例题 5、求函数 y=4x -
√
1−3x
(x≤
1
3
)的值域。
【答案】设 f(x)=4x,g(x)=-
√
1−3x
,(x≤
1
3
),易知它们在定义域内为增函数，从而
y=f(x)+g(x)=4x-
√
1−3x
在定义域为 x≤
1
3
上也为增函数，而且 y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值
域为｛y|y≤
4
3
｝。
2、换元法
例题 6、函数 的值域是_______________。
【 答 案 】 令 ， ， 单 调 递 减 ， 值 域 为
。
3、 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的
值域。
3
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