专题02 构造等差或者等比数列求解数列的通项公式（第二篇）（原卷版）
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第二篇 数列与不等式
专题 02 构造等差或者等比数列求解数列的通项公式
类型 对应典例
构造等差数列求解通项公式 典例 1
构造等比数列求解通项公式 典例 2
利用构造证明数列为等比等差数列 典例 3
利用两个数列的递推关系构造数列求通项公式 典例 4
利用构造证明数列为等比数列 典例 5
利用构造证明数列为等比数列 典例 6
【典例 1】【四川省攀枝花市 2019-2020 学年高三上学期第一次统考】
数列 中， ， ,数列 满足 ．
（I）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（II）设 ，求数列 的前 n项 ．
【思路点拨】
（I）将 配凑成 .由此证得数列 是等差数列.求得 的表达式，进
而求得数列 的通项公式.
（II）先求得 的表达式，然后利用裂项求和法求得 .
1
【典例 2】【2020 届湖南省长沙市第一中学高三月考】
已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)设 ，证明数列 为等比数列，并求出通项公式 ；
(2)求.
【思路点拨】
（1）由题可得 ,与条件作差可得 ,则,即可证明数列
为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列 的通项公式,进而求得数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ,进而利用等比数列的前 项和公式求解即可
2
【典例 3】【2020 届山东省青岛市高三上学期期末数学试题】
设数列 的前 n项和为 ,已知 , , .
(1)证明:为等比数列,求出 的通项公式;
(2)若,求 的前 n项和 ,并判断是否存在正整数 n使得 成立?若存在求出所有 n
值;若不存在说明理由.
【思路点拨】(1)根据等比数列的定义即可证明 为等比数列，再根据 和 的关系
，即可求出 的通项公式；
(2)根据 ，可采取错位相减法求出 的前 n项和 ，然后代入 得，
，构造函数 ( )，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存
在．
3
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作者：envi
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