专题02 方法篇：立体几何中的向量方法（重难点突破）原卷版2021年春季高二数学辅导讲义(人教A版）

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专题 02 方法篇：立体几何中的向量方法

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重难点突破

考点 1．空间向量及其有关概念

概念语言描述

共线向量(平行

向量)

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

共面向量平行于同一个平面的向量

共线向量定理对空间任意两个向量

a ， b ( b ≠ 0 ) ， a

∥

b ⇔ 存在

λ ∈ R ，使

a ＝ λ b

共面向量定理若两个向量 a，b不共线，则向量 p与向量 a，b共面⇔存在唯一的有序实

数对 ( x ， y ) ，使

p ＝ x a ＋ y b

空间向量基本定

理及推论

定理：如果三个向量 a，b，c不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一

的有序实数组{x，y，z}使得 p＝xa＋yb＋zc.

推论：设 O，A，B，C是不共面的四点，则对平面 ABC 内任一点 P都存

在唯一的三个有序实数 x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝1

考点 2．数量积及坐标运算

(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a

⊥

b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝

(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.

(2)空间向量的坐标运算：

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)

向量和 a＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)

向量差 a－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)

数量积 a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3

共线 a ∥ b ⇒ a 1＝ λb 1， a 2＝ λb 2， a 3＝ λb 3( λ ∈R， b ≠0)

垂直 a⊥b⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0

夹角公式 cos〈a，b〉＝

考点三异面直线所成的角

设a

，

b分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则

a与b的夹角 β l1与l2所成的角 θ

范围 (0，π)

求法 cos β＝cos θ＝|cos β|＝

考点四求直线与平面所成的角

设直线 l的方向向量为 a，平面 α的法向量为 n，直线 l与平面 α所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈a，n〉|

＝.

考点五求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β的两个面内与棱 l垂直的直线，则二面角的大小 θ＝

__〈AB，CD〉.

(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β的两个半平面 α，β的法向量，则二面角的大小 θ满足|

cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量 n1与n2的夹角(或其补角).

【特别提醒】

1.线面角 θ的正弦值等于直线的方向向量 a与平面的法向量 n所成角的余弦值的绝对值，即 sin θ＝|

cos〈a，n〉|，不要误记为 cos θ＝|cos〈a，n〉|.

2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α，β的法向量 n1，n2

时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量 n1，n2的夹角是相等，还是互补.

重难点题型突破

重难点题型突破(一) 平行与垂直的证明

例1. 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，棱长为 a，M，N分别为 A1B和AC 上的点，A1M＝AN

＝，则 MN 与平面 BB1C1C的位置关系是(　　)

A.斜交 B.平行

C.垂直 D.MN 在平面 BB1C1C内

【变式训练 1-1】、（黑龙江齐齐哈尔市实验中学 2019 届期中）正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N分

别是 C1C，B1C1的中点.求证：MN∥平面 A1BD.

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