专题02 方法篇：立体几何中的向量方法（课时训练）解析版2021年春季高二数学辅导讲义(人教A版）

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专题 02 方法篇：立体几何中的向量方法

A 组基础巩固

1．（陕西西安市第一中学 2020 高三模拟）已知空间任意一点 O和不共线的三点 A，B，C，若OP＝

xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当 x＝2，y＝－3，z＝2时，即OP＝2OA－3OB＋2OC.则AP－AO＝2OA－3(AB－AO)＋

2(AC －AO)，即 AP ＝－ 3AB ＋2AC ，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当

P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设AP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，即OP－OA＝m(OB－

OA)＋n(OC－OA)，即OP＝(1－m－n)OA＋mOB＋nOC，即 x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显

然不止 2，－3，2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．

2. （河北辛集中学 2020 高三质检）如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB＝，AF＝

1，M在EF 上，且 AM∥平面 BDE.则M点的坐标为(　　)

A.(1，1，1) 　　 B.

C. 　　 D.

【答案】C

【解析】设 AC 与BD 相交于 O点，连接 OE，由 AM∥平面 BDE，且 AM⊂平面 ACEF，平面 ACEF∩平面

BDE＝OE，∴AM∥EO，

又O是正方形 ABCD 对角线交点，∴M为线段 EF 的中点.

在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1).由中点坐标公式，知点 M的坐标.

3．（重庆巴蜀中学 2019 届高三调研）如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB

＝，AF＝1，M在EF 上，且 AM∥平面 BDE，则 M点的坐标为(　　)

A．(1，1，1) B. C. D.

【答案】C

【解析】设 M点的坐标为(x，y，1)，因为 AC∩BD＝O，所以 O，

又E(0，0，1)，A(，，0)，所以OE＝，AM＝(x－，y－，1)，

因为 AM∥平面 BDE，所以OE∥AM，所以⇒

所以 M点的坐标为.

4、已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是( )

A. (－1，1，1) B. (1，－1，1)

C. D.

【答案】C.

【解析】　AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)，经计算得 C项符合题意．故选 C.

5、在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E为BC 的中点，F为B1C1的中点，则异面直线 AF 与C1E所成角的正

切值为(C )

A. B. C. D.

【答案】C.

【解析】　以 D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，设正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 2，

第3题图

可得 A(0 ，2，0) ，B(2 ，2，0) ，C(2 ，0，0) ，B1(2 ，2，2) ，C1(2 ，0，2) ，由中点坐标公式可得

E(2，1，0)，F(2，1，2)，则 AF＝(2，－1，2)，C1E＝(0，1，－2)，设两异面直线所成角为 θ，则 cos θ＝|

cos〈AF，C1E〉|＝＝＝，则 sin θ＝，故异面直线 AF 与C1E所成角的正切值为＝.故选 C.

6、（广西南宁三中 2020 高三模拟）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动

点P，Q分别在线段 C1D，AC 上，则线段 PQ 长度的最小值是(　　)

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】设DP＝λDC1，AQ＝μAC，(λ，μ∈[0，1])．

所以DP＝λ(0，1，2)＝(0，λ，2λ)，

DQ＝DA＋μ(DC－DA)＝(1，0，0)＋μ(－1，1，0)＝(1－μ，μ，0)．

所以|PQ|＝|DQ－DP|＝|(1－μ，μ－λ，－2λ)|＝

＝≥＝，

当且仅当 λ＝，μ＝，即 λ＝，μ＝时取等号．

所以线段 PQ 长度的最小值为.故选 C.

7、已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1的侧棱 AA1垂直于底面，底面 ABCD 为直角梯形，

AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝AA1＝2BC，E为DD1的中点，F为A1D的中点，则直线 EF 与平面 A1CD

所成角的正弦值为________．

【答案】

【解析】由题意，得 AB，AD，AA1两两垂直，故以 AB 所在直线为 x轴，AD 所在直线为 y轴，AA1所

在直线为 z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设 BC＝1，则

A(0，0，0)，A1(0，0，2)，C(2，1，0)，D(0，2，0)，E(0，2，1)，F(0，1，1)，所以FE＝

(0，1，0)，A1D＝(0，2，－2)，CD＝(－2，1，0)．设平面 A1CD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则令 x＝

1，故 n＝(1，2，2)，则 sinθ＝|cos〈n，FE〉|＝＝＝，故直线 EF 与平面 A1CD 所成角的正弦值为.

8．（广东惠州一中 2019 届高三调研）在正三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，底面边长为 1，M为

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