专题02 不等式的恒成立与能成立高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

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专题 02 不等式的恒成立与能成立

【方法点拨】

1. 不等式恒成立、能成立问题通常利用分离变量转化为求函数的最值．

2. 对于任意 ,（）恒成立（）；

对于任意 ,（）恒成立（）.

3. 对于存在 ,（）能成立（）；

对于存在 ,（）能成立（）.

【典型例题】

例1 设函数 fk(x)＝2x＋(k－1)·2－x(x∈R，k∈Z)．设不等式 f0(x)＋mf1(x)≤4 的解集为 A，若 A∩[1,2]≠∅，求

实数 m的取值范围.

【答案】

【分析】代入得 2x－2－x＋m·2x≤4，分离参数 m≤，A∩[1,2]≠∅意即“存在 x[1,2]∈，上不等式能成立”，故

应等价转化为其最大值≥m，考虑用换元法求出其最大值即可.

【解析】等式 f0(x)＋mf1(x)≤4，即为 2x－2－x＋m·2x≤4，

所以 m≤，即 m≤2＋4·－1.

令t＝，x[1,2]∈，则 t∈，

设h(t)＝t2＋4t－1，t∈，

则h(t)max＝h＝.

由A∩[1,2]≠∅，即不等式 f0(x)＋mf1(x)≤4 在[1,2]上有解，则需 m≤h(t)max，即 m≤.

所以实数 m的取值范围为.

例2 已知函数 f(x)＝2x＋2－x,若对于任意 x∈R，不等式 f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数 m的最大值．

【答案】4

【分析】分离参数，直接转化为最值问题，使用换元法或基本不等式求最值.

【解析】由条件知 f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.

因为 f(2x)≥mf(x)－6对于 x∈R恒成立，且 f(x)＞0，

所以 m≤对于 x∈R恒成立．

而＝f(x)＋≥2 ＝4，且＝4，

所以 m≤4，故实数 m的最大值为 4.

例3 若对于，不等式都成立，则的取值范围是_________.

【答案】

【分析】此题难度并不大，但学生受定式思维的影响，习惯上将视为变量而走入死胡同.事实上，要“变

更主元”，“求谁谁是参数，已知谁谁是元”，设

，其是关于的一次函数，欲使对于

恒成立，只需其最小值大于 0，故只需其端点值都大于 0即可.

【解析】设，其是关于的一次函数，

欲使对于，恒成立，

只需，即，解之得或

所以的取值范围是 .

【巩固练习】

1. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是_________.

2.已知函数 f(x)＝a－，若 f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，则实数 a的取值范围是．

3. 已知函数 f(x)＝x3＋x，对任意的 m[∈－2，2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则 x的取值范围是________．

3. 若二次函数 f(x)＝x2－x＋1，若在区间[－1，1]上，不等式 f(x)＞2x＋m恒成立，则实数 m的取值范围是_

_______．

4.已知 f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当 x∈R时，若 f(x)恒为正值，则 k的取值范围是________．

5.设函数 f(x)＝x2＋ax＋3．

(1)当xR∈时，f(x)≥a恒成立，求 a的取值范围；

(2)当x[∈－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求 a的取值范围；

(3)设不等式 f(x)≥a对于满足 1≤a≤3 的一切 a的取值都成立，求 x的取值范围．

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