专题02 不等式（解析版）新高考数学纠错笔记

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专题 02 不等式

易错点

易错点 1 忽略不等式性质成立的条件

不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)；

(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．

【例 1】给出下列命题：

① 若 ,则；② 若，则；

③ 若且 ,则；④ 若 ,则 .

其中正确命题的序号是 .

【错解】① ,又 ,则，故①正确；②当时， ,故②不正确；

③ 正确；④由知 ,所以，故 ,故④

不正确.故填①③.

【错因分析】①③忽略了不等式性质成立的条件；④中的推论显然不正确.

【试题解析】①当

<0 时，不成立，故①不正确；

② 当

<0 时，

不成立,故②不正确；

③ 当

=1,

= 2,−

=2 时，命题不成立，故③不正确；

④ 由

>0 −

<−

<0 0<

−

,两边同乘以 ,得 ,又 ,

所以 ,故④正确.故填④.

【答案】④

【巩固练习 1】若非零实数满足，则下列不等式成立的是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对 A, 不一定小于 0，所以该选项不一定成立；

对 B,如果

＜0，

＜0 时，不成立，所以该选项不一定成立；

对 C, ，所以，所以该不等式成立；

对 D, 不一定小于 0，所以该选项不一定成

立.

故选：C

易错点 2 忽略对二次项系数的讨论导致错误

一元二次不等式恒成立问题

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为 R)时，满足；

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为 R)时，满足；

(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为 R)时，满足；

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为 R)时，满足.

【例 2】若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对x∈R恒成立，求实数 a的取值范围．

【错解】由题意，得，

解得－2<a<2.所以实数 a的取值范围为－2<a<2.

【错解分析】错解中没有对二次项系数分情况讨论致错．

【正解】当 a＝2时，原不等式化为－4<0 成立，所以 a＝2原不等式恒成立．

当a≠2时，由题意，得，

解得－2<a<2.综上可知，－2<a≤2.

故实数 a的取值范围为－2<a≤2.

【巩固练习 2】已知关于 x的不等式 mx2＋mx＋m－1＜0恒成立，则 m的取值范围为______________．

【答案】(－∞，0]

【解析】由于不等式 mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数 x都成立，

当m＝0时，－1＜0恒成立；

当m≠0 时，易知 m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得 m＜0．

综上，实数 m的取值范围为(－∞，0]．

易错点 3 解含参不等式时不能正确分类导致错误

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解 (或分割)成若

干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．

【例 3】关于的不等式的解集为 .

【错解】原不等式化为，①当时，不等式的解集为；②当

时，不等式的解集为或；③当时，不等式的解集为；

【错因分析】对实数的分类不具体，因为当时， . 解含参数不等式，对参数的讨

论要全面、具体.

【正解】原不等式化为，

①当时，不等式的解集为或；

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