专题02 帮你解决立体几何中的外接球与内切球问题（原卷版）

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帮你解决立体几何中的外接球与内切球问题
立体几何中的外接球与内切球问题，有一定难度，需要掌握常见的几种类型，现结合实例介绍如下：
一、 长方体的外接球直径为长方体体对角线长
例 1.长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积
为( )
A. π B.56π C.14π D.64π
变式. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是 12π，那么这个正方体的体积是(
)
A. B．4 C．8 D．24
二、有些三棱锥可以补体为长方体
1.三条侧棱（面）两两垂直的三棱锥的外接球
例2．已知三棱锥 PABC 中，PB⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，PA＝，AB＝BC＝1，则三棱锥 PABC 的外接
球的表面积为(　　)
A．12π B．6π
C．24π D.
变式．球面上有 四个点，若 两两垂直，且 ，则该球的表面积
为（ ）
A．B．C．D．
2.三对对棱对应相等的三棱锥的外接球
例3．在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 外接球
的表面积为（ ）
A．B．100 C．D．
变式.在三棱锥 中， ,则三棱锥 外接球的表
面积为____________.
三、正棱锥的外接球
例4．在正四棱锥 中，已知 ，若 、 、 、 、 都在球 的表面上,则球 的
1
表面积是四边形 面积的（ ）
A．2倍B． 倍 C． 倍 D． 倍
变式．正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为(　　)
A．π B．16π C．9π D．π
四、侧棱与底面垂直的棱锥的外接球
例5.体积为的三棱锥 P－ABC 的顶点都在球 O的球面上，PA⊥平面 ABC，PA＝2，∠ABC＝120°，则球 O
的体积的最小值为(　　)
A.π B.π
C.π D.π
变式。已知 ， 平面 ABC，若 ，则四面体 PABC 的外接球（顶点都
在球面上）的体积为（）
A．B．C．D．
五、侧面与底面垂直的三棱锥的外接球
例6.三棱锥
A BCD
的一条长为
a
，其余棱长均为
1
，当三棱锥
A BCD
的体积最大时，它的外接球的
表面积为( )
A.
5
3
B.
5
4
C.
5
6
D.
5
8
变式. 4.(2019·广州模拟)三棱锥 P－ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，
则三棱锥 P－ABC 的外接球的表面积为(　　)
A.23π B.π C.64π D.π
六、有两个侧面为有公共斜边的直角三角形的三棱锥
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