专题02 帮你解决立体几何中的外接球与内切球问题（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 16 4 538.67KB 11 页 3知币
侵权投诉
帮你解决立体几何中的外接球与内切球问题
立体几何中的外接球与内切球问题，有一定难度，需要掌握常见的几种类型，现结合实例介绍如下：
一、 长方体的外接球直径为长方体体对角线长
例 1.长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积
为( )
A. π B.56π C.14π D.64π
分析：长方体的外接球直径为常长方体体对角线长。
解析： C. 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c，则 ，得
令球的半径为 R，则 。
。
变式. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是 12π，那么这个正方体的体积是(
)
A. B．4 C．8 D．24
解析： C 设球的半径为
R
，则 4π
R
2＝12π，从而
R
＝，所以正方体的体对角线为 2，故正方体的棱
长为 2，体积为 23＝8，故选 C.
二、有些三棱锥可以补体为长方体
1.三条侧棱（面）两两垂直的三棱锥的外接球
例2．已知三棱锥 PABC 中，PB⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，PA＝，AB＝BC＝1，则三棱锥 PABC 的外接
球的表面积为(　　)
A．12π B．6π
C．24π D.
解析：答案为 B　
如图，∵PB⊥平面 ABC，∴PB⊥AB，∵AB＝1，PA＝，∴PB＝2，
又AB⊥BC，把三棱锥 PABC 补形为长方体，则长方体对角线长为＝， 则 三 棱 锥 PABC 外
接球的半径为，
∴三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 4π×＝6π.故选 B.
变式．球面上有 四个点，若 两两垂直，且 ，则该球的表面积
为（ ）
1
A．B．C．D．
解析：D 由题意可知，该球是一个棱长为 4的正方体的外接球，
设球的半径为 ，由题意可得： ,
据此可得： ，外接球的表面积为： .
2.三对对棱对应相等的三棱锥的外接球
例3．在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 外接球
的表面积为（ ）
A．B．100 C．D．
解析：答案为 C。对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），
设长方体的长、宽、高分别是 ， ， ，则有 ，
三个式子相加整理可得 ，所以长方体的对角线长为 ，
所以其外接球的半径 ，所以其外接球的表面积 ，故选 C．
变式.在三棱锥 中， ,则三棱锥 外接球的表
面积为____________.
解 析 ： 补 形 为 长 方 体 ， 三 个 长 度 为 相 邻 三 个 面 的 对 角 线 长 ， 设 长 方 体 的 长 宽 高 分 辨 为 a,b,c, 则
。 ，
，, .
三、正棱锥的外接球
例4．在正四棱锥 中，已知 ，若 、 、 、 、 都在球 的表面上,则球 的
表面积是四边形 面积的（ ）
2
A．2倍B． 倍 C． 倍 D． 倍
解析：答案为 D。设正四棱锥的底面 的边长为 ，则四边形 的面积为 ，
从 向 作 平面 ，则垂足 为底面 的中心，因为 ，
所以侧面都是边长为 的等边三角形， ， ，则 ，
所以 ，所以球的表面积 ，
所以 ，所以选 D．
变式．正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为(　　)
A．π B．16π C．9π D．π
解析：A 设正四棱锥 P－ABCD，外接球心 O在PE 上，半径为 R，AE ＝AC
＝ ， OE ＝PE －PO ＝4－R，OA2＝AE2＋OE2， ∴ R2＝2＋(4 －R)2，∴R＝，S
＝4πR2＝π，故选 A.
四、侧棱与底面垂直的棱锥的外接球
例5.体积为的三棱锥 P－ABC 的顶点都在球 O的球面上，PA⊥平面 ABC，PA＝2，∠ABC＝120°，则球 O
的体积的最小值为(　　)
A.π B.π
C.π D.π
解析：答案为 B
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，由题可得＝×S△ABC×2，解得 S△ABC＝.因为∠ABC＝120°，S△ABC＝＝acsin 120°，
所以 ac＝6，由余弦定理可得 b2＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝3ac＝18，当且仅当 a＝c时取
等号，此时 bmin＝3.设△ABC 外接圆的半径为 r，则＝2r(b最小，则外接圆半径最小)，故＝2rmin，所以 rmin
＝.
如图，设 O1为△ABC 外接圆的圆心，D为PA 的中点，R为球的半径，连接 O1A，O1O，OA，OD，PO，易
得OO1＝1，R2＝r2＋OO＝r2＋1，当 rmin＝时，R＝6＋1＝7，Rmin＝，故球 O体积的最小值为 πR＝π×()3＝.
3
专题02 帮你解决立体几何中的外接球与内切球问题（解析版）.docx

共11页,预览4页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：11 页 大小：538.67KB 格式：DOCX 时间：2025-02-13

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 11
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注