专题02 数列（原卷版）-【新高考】2021年高考数学考前复习高频易考解答题专题

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专题 02 数列（固定模型+结构不良型）
知识必备+难点剖析+模拟演练
知识必备
1．求数列的前 n项和的方法
(1)公式法
① 等差数列的前 n项和公式
Sn＝ 推导方法：倒序相加法；
② 等比数列的前 n项和公式
Sn＝ 推导方法：乘公比，错位相减法．
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
(6)并项求和法
一个数列的前 n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
2．常见的裂项公式
(1)
(2) ；
(3) .
难点剖析
常见通项公式求法
1、 定义法
1
若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出 与 或 与 ,再代入公式 或
中即可.
2、 累加法
形如 型的的递推公式均可用累加法求通项公式.
（1） 当 为常数时， 为等差数列，则 ；
（2） 当 为 的函数时，用累加法.
方法如下：由 得
当时， ，
，
，
，
以上 个等式累加得
（3）已知 ， ，其中 可以是关于 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若 可以是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
②若 可以是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
③若 可以是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
④若 可以是关于 的分式函数，累加后可裂项求和求和.
3、 累乘法
形如 型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.
2
给递推公式 中的 依次取 1,2,3，……， ,可得到下面 个式子：
利用公式 可得：
4、 奇偶分析法
(1) 对于形如 型的递推公式求通项公式
①当 时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为 2，其通项分奇数项和偶数项
来讨论.
②当 为 的函数时，由 ， 两式相减，得到 ，
分奇偶项来求通项.
5、 待定系数法（构造法）
若给出条件直接求 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求
出通项.常见的有:
(1) .
(2)
(3)
(4)
(5)
6、利用 与 的关系
3
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