专题02 求轨迹方程问题（解析版）

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第五篇 解析几何
专题 02 求轨迹方程问题
类型 对应典例
直接法求轨迹方程 典例 1
定义法求轨迹方程 典例 2
几何法求轨迹方程 典例 3
相关点法求轨迹方程 典例 4
【典例 1】【2021·江西上饶市·高三模拟】在平面直角坐标系 中，已知点 ， 是动点，且直
线 的斜率与直线 的斜率之和等于直线的 斜率.
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过 作斜率为 的直线与轨迹 相交于点 ，点 ，直线 与 分别交轨迹 于点
、 ，设直线 的斜率为 ，是否存在常数 ，使得 ，若存在，求出 值，若不存在，请说明
理由.
【思路引导】（1）设点 的坐标为 ，利用 化简可得出动点 的轨迹 的方程；
（2）求得点 ，设点 、 ，求出直线 、 的方程，分别将这两条直线与曲
线 的方程联立，求出 、 ，利用斜率公式求出 ，进而可得出 的值.
【解析】（1）设点 的坐标为 ，由题意可得 ，即 ，则 且 .
整理可得 （ 且 ）.
因此，动点 的轨迹 的方程为 （ 且 ）；
1
（2）设点 ，则 ，解得 ，则 ，
所以，点 的坐标为 .
设点 、 ，则直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ，解得 ，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ，解得 ，
所以， ，即 ，所以， .
因此，存在 ，使得 .
【典例 2】【2021·山西吕梁市·高三一模】在平面直角坐标系 中，设点 ，直线 ，点
在直线 上移动， 是线段 与 轴的交点， ， ．
2
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）直线 与曲线 交于 ， 两点，求证： ．
【思路引导】（1）先判断 R是线段 PF 的中点，得到 ，再判断动点 到点 F的距离等于到直线 l
的距离，轨迹是抛物线的一部分，即得结果；
（2）先设点 ， ，再联立直线与曲线，结合韦达定理证明 ，即证结论.
【解析】解：（1）如图， 是线段 与 轴的交点，直线 l和y轴平行，故 R是线段 PF 的中点，
又 ，故 是线段 PF 的中垂线，所以 ，
结合 知，动点 到点 F的距离等于到直线 l的距离，
故动点 的轨迹是开口向右的抛物线，F是焦点，l是准线，依题意动点 不能与 O重合，
故方程为 ；
（2）设 ， ， ，
联立 得， ，则 ，
故
，
3
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