专题02 函数的对称性、周期性与奇偶性-2021年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）（解析版）

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专题 02 函数的对称性、周期性与奇偶性
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知定义域为 的函数 满足：①图象关于原点对称；② ；③当 时，
.若 ，则 （ ）
A．B．1 C．D．2
【解析】由①可知函数 为奇函数，又 ，
故 ，即函数 的周期为 3，
∴ ，解得 .故选：B.
2．已知 是定义在 上的奇函数，且 ， .数列 满足 ，其中
是数列 的前 项和，则 （ ）
A．B．C．D．
【解析】由数列 满足 ， ，
当 ， ，即 ，
所以数列 是首项 ，公比 的等比数列， ，
由 知函数对称轴为 ，又 是奇函数，所以函数周期为 .
.故选：D.
3．已知函数 是 上的偶函数，且 的图象关于点 对称，当 时， ，则
1
的值为（ ）
A．B．C．0 D．1
【解析】因为 是 上的偶函数，所以 ，
又 的图象关于点 对称，则 ，
所以 ，则 ，得 ，
即 ，所以 是周期函数，且周期 ，
由 时， ，则 ， ，
， ，
则 ，
则.故选：D.
4．已知定义在 上的奇函数 满足， ，若 且 时，都有
，则下列四个结论中：① 图象关于直线 对称；②
；③ 在 上为减函数；④ .其中正确的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，所以对称轴为 ，
因为 ，所以 ，所以周期为 4，
所以对称轴 ，故 不符合，所以①不正确；
2
，
因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，所以 ，所以②正确；
因为 且 时，都有 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上为增函数，所以 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数，所以③不正确；
因为 ， ，
所以 ，所以④不正确，即正确的个数为 1个，故选：A.
5．已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数 为偶函数，当 ，
时， ，则方程 在 ， 上的实根之和为（ ）
A．4 B．3 C．D．
【解析】由 ，得 ，则 是周期为 2的周期函数.
又函数 为偶函数， 的图象关于 轴对称，则 的图象关于直线 对称.
又当 ， 时， ，作出函数 的图象如图：
3
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