专题02 变量间的相关关系与回归分析（原卷版）

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第四篇 概率与统计
专题 02 变量间的相关关系与回归分析
类型 对应典例
线性回归方程的求解与预测 典例 1
两类线性回归模型的分析与判断 典例 2
非线性回归方程的求解与预测 典例 3
两类非线性回归方程的分析与判断 典例 4
两类回归方程的拟合效果的比较分析 典例 5
回归模型中的线性相关的分析与相关系数的求解 典例 6
【典例 1】【2021·云南高三二模】某公司为一所山区小学安装了价值 万元的一台饮用水净化设备，每年
都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第 年为这台设备支出
的年度保养维修费 （单位：千元）的部分数据：
画出散点图如下：
通过计算得 与 的相关系数 .由散点图和相关系数 的值可知， 与 的线性相关程度很高.
1
（1）建立 关于 的线性回归方程 ；
（2）若设备年度保养维修费不超过 万元就称该设备当年状态正常，根据（1）得到的线性回归方程，
估计这台设备有多少年状态正常？
附： ， .
【思路引导】（1）由已知表格中的数据求得 与 ，即可得到线性回归方程；
（2）在（1）中求得的回归方程中，令 ，解得正常工作的年限.
【典例 2】【2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷 II)】
下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据 2000
2
年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型①： ；根据 2010 年至
2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型②： ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【思路引导】
分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为 2018 时所对应的函数值，就得结果;（2）
根据折线图知 2000 到2009，与 2010 到2016 是两个有明显区别的直线，且 2010 到2016 的增幅明显高于
2000 到2009，也高于模型 1的增幅，因此所以用模型 2更能较好得到 2018 的预测.
【典例 3】【2021·甘肃兰州市·高三其他模拟】
某校高二生物研究性学习小组的同学们为了研究当地某种昆虫的产卵数与温度的变化关系，他们收集了一
只该种昆虫在温度 时相对应产卵数个数为 的 组数据，为了对数据进行分析，他们绘制了如下散点
图：
3
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