专题02 变量间的相关关系与回归分析（解析版）

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第四篇 概率与统计
专题 02 变量间的相关关系与回归分析
类型 对应典例
线性回归方程的求解与预测 典例 1
两类线性回归模型的分析与判断 典例 2
非线性回归方程的求解与预测 典例 3
两类非线性回归方程的分析与判断 典例 4
两类回归方程的拟合效果的比较分析 典例 5
回归模型中的线性相关的分析与相关系数的求解 典例 6
【典例 1】【2021·云南高三二模】某公司为一所山区小学安装了价值 万元的一台饮用水净化设备，每年
都要为这台设备支出保养维修费用，我们称之为设备年度保养维修费.下表是该公司第 年为这台设备支出
的年度保养维修费 （单位：千元）的部分数据：
画出散点图如下：
通过计算得 与 的相关系数 .由散点图和相关系数 的值可知， 与 的线性相关程度很高.
1
（1）建立 关于 的线性回归方程 ；
（2）若设备年度保养维修费不超过 万元就称该设备当年状态正常，根据（1）得到的线性回归方程，
估计这台设备有多少年状态正常？
附： ， .
【思路引导】（1）由已知表格中的数据求得 与 ，即可得到线性回归方程；
（2）在（1）中求得的回归方程中，令 ，解得正常工作的年限.
【解析】解：（1） ，
.
.
.
线性回归方程为 .
（2）设这台设备有 年状态正常，由已知得 ，即 .
解 得 .
估计该设备有 年状态正常
【典例 2】【2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷 II)】
下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图．
2
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据 2000
年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型①： ；根据 2010 年至
2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型②： ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【思路引导】
分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为 2018 时所对应的函数值，就得结果;（2）
根据折线图知 2000 到2009，与 2010 到2016 是两个有明显区别的直线，且 2010 到2016 的增幅明显高于
2000 到2009，也高于模型 1的增幅，因此所以用模型 2更能较好得到 2018 的预测.
解：（1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=–30.4+13.5t上下，这说
明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010
年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，
3
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