专题02 （圆与圆的位置关系及判定)（解析版）-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题二 圆与圆的位置关系及判定
一、单项选择题
1. 两圆
x2+y2−1=0
和
x2+y2−4x+2y − 4=0
的位置关系是
¿

¿
A.内切 B.外离 C.外切 D.相交
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，属于基础题．
由已知中两圆的方程：
x2+y2−1=0
和
x2+y2−4x+2y − 4=0
，先求出圆心坐标及半径，进而求出圆心
距
¿O1O2∨¿
，比较
¿O1O2∨¿
与
及
R2+R1
的大小，即可得到两个圆之间的位置关系．
【解答】
解：圆
x2+y2−1=0
表示以
O1(0,0)
点为圆心，以
R1=1
为半径的圆；
圆
x2+y2−4x+2y − 4=0
表示以
O2(2,− 1)
点为圆心，以
R2=3
为半径的圆；
∵∨O1O2∨¿
√
22+12=
√
5
，
∴R2− R1<¿O1O2∨¿R2+R1
，
∴
圆
x2+y2−1=0
和圆
x2+y2−4x+2y − 4=0
相交
故选 D．
2. 已知圆 C：
¿
和两点
A(−2,0)
，
B(1,0)
，若圆上存在点 P，使得
¿PA∨¿2∨PB∨¿
，则 m的取值范围
高考对本节内容的考查重点是圆与圆的位置关系特别是外切、内切问题，此类问题一
般不会太难，一般以填空题的形式出现 .解决此类问题既可以从几何的角度来探索它们
的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题，体现用代数方法研究几何问题
的思想．
自我检测
1
是
A.
[8,64]
B.
[9,64]
C.
[8,49]
D.
[9,49]
【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查了与圆有关的轨迹问题，以及圆与圆的位置关系及判定，属于中档题．
由题意，可得点 P的轨迹方程为
¿
，由题意可知，圆
¿
与圆 C有公共点，从而可得
¿
√
m− 2∨≤5≤
√
m+2
，
解之即可．
【解答】
解：设 P点的坐标为
(x , y )
，则
¿
，
则点 P的轨迹方程为
¿
，
即点 P的轨迹是以
E(2,0)
为圆心，2为半径的圆，
由题意可知，圆
¿
与圆 C有公共点，且圆心
C(−1,4)
，
则
¿
√
m− 2∨≤∨EC ∨≤
√
m+2
，即
¿
√
m− 2∨≤5≤
√
m+2
，
解得
9≤m≤49
．
因此 m的取值范围是
[9,49]
．
故选 D．
3. 若圆
C1
：
x2+y2=4
与圆
C2
：
x2+y2−6x −8y+m=0
外切，则实数
m=()
A.
−24
B.
−16
C.24 D.16
【答案】D
【解析】解：根据题意，圆
C1
：
x2+y2=4
，圆心为
(0,0)
，半径为
R=2
，
圆
C2
：
x2+y2−6x −8y+m=0
，即
¿
，圆心为
(3,4)
，半径
r=
√
25 − m
若圆
C1
：
x2+y2=4
与圆
C2
：
x2+y2−6x −8y+m=0
外切，则有
¿C1C2∨¿
√
32+42=5=2+
√
25 − m
，
解可得
m=16
，
故选：D．
2
根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得
¿C1C2∨¿
√
32+42=5=2+
√
25 − m
，解可得 m的值，
即可得答案．
本题考查圆与圆位置关系的判断，注意两圆相切的判断方法，属于基础题．
4. 两圆
x2+y2=1
与
x2+y2−2
√
a x − 2
√
b y +a+b=4
有且只有一条公切线，那么
1
a+2
b
的最小值为
A.1B.
3+2
√
2
C.5D.
4
√
2
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查两圆的位置关系，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．
先由两圆
x2+y2=1
与
x2+y2−2
√
a x − 2
√
b y +a+b=4
有且只有一条公切线，得两圆相内切，即
a+b=1
，
再由基本不等式
1
a+2
b=
(
1
a+2
b
)
(
a+b
)
=
(
3+b
a+2a
b
)
≥
(
3+2
√
b
a·2a
b
)
=3+2
√
2
，即可的最小值．
【解答】
解：由
x2+y2=1
，得圆心
O
(
0,0
)
，半径
r1=1
，
由
x2+y2−2
√
a x − 2
√
b y +a+b=4
，得
(
x −
√
a
)
2+
(
y −
√
b
)
2=4
，则圆心为
C
(
√
a ,
√
b
)
，半径
r2=2
，
∵
两圆
x2+y2=1
与
x2+y2−2
√
a x − 2
√
b y +a+b=4
有且只有一条公切线，
∴
两圆相内切，即
|
CO
|
=r2− r1
，
则
√
(
√
a
)
2+
(
√
b
)
2=2−1=1
，
即
a+b=1
，且
a>0, b>0
，
∴1
a+2
b=
(
1
a+2
b
)
(
a+b
)
=
(
3+b
a+2a
b
)
≥
(
3+2
√
b
a·2a
b
)
=3+2
√
2
，
3
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