专题02 （圆与圆的位置关系及判定)(教案)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题二 圆与圆的位置关系及判定
例题 1.（2020 江苏南通，模拟题）已知圆
C1：x2+y❑2−2x+m=0
与圆
C2：¿
内切，且圆
C1
的半径小于
6，点 P是圆
C1
上的一个动点，则点 P到直线 l：
5x+12 y+8=0
距离的最大值为______．
【答案】2
【解析】解：根据题意，圆 C：
x2+y2−2x+m=0
化为标准方程为
¿
，其圆心为
，半径
r=
√
1− m
，
¿C1C2∨¿
√
42+32=5
，
又由圆
C1
与圆
C2
内切，且圆
C1
的半径小于 6，则有
6−
√
1−m=5
，解可得
m=0
，
圆心
C1(1,0)
到
5x+12 y+8=0
的距离
d=¿5+8∨¿
√
25+144 =1¿
，
点P是圆
C1
上的一个动点，则点 P到直线 l：
5x+12 y+8=0
距离的最大值为
1+1=2
；
故答案为：2．
根据题意，求出圆
C1
的圆心与半径，求出两圆的圆心距，根据两圆内切求出 m的值，求出圆心
C1(1,0)
到
5x+12 y+8=0
的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，根据圆与圆的位置关系求出 m是解决本题的关
键，是基础题
思维升华
如何解决这类问题，关键能把几何知识转化为代数式，达到几何代数的“和谐统一”。用代数方法来研究
几何问题。
基本知识
高考对本节内容的考查重点是圆与圆的位置关系特别是外切、内切问题，此类问题一
般不会太难，一般以填空题的形式出现 .解决此类问题既可以从几何的角度来探索它们
的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题，体现用代数方法研究几何问题
的思想．
1. 直击高
考
1
外离 外切 相交 内切 内含
例2.（2020 上海，模拟题）若圆
C1
：
x2+y2=1
和圆
C2
：
x2+y2−6x −8y −k =0
没有公共点，则实数 k
的取值范围是
()
A.
(−9,11)
B.
(−25 ,− 9)
C.
(− ∞ , − 9)∪(11,+∞)
D.
(−25 ,− 9)∪(11 ,+∞)
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆位置关系，考查计算能力，是中档题．
求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解．
【解答】
解：化圆
C2
：
x2+y2−6x −8y −k =0
为
¿
，
则
k>−25
，圆心坐标为
(3,4)
，半径为
√
25+k
，
圆
C1
：
x2+y2=1
的圆心坐标为
(0,0)
，半径为 1．
要使圆
C1
：
x2+y2=1
和圆
C2
：
x2+y2−6x −8y −k =0
没有公共点，
则
¿C1C2∨¿
√
25+k+1
或
¿C1C2∨¿
√
25+k −1
，
即
5>
√
25+k+1
或
5<
√
25+k − 1
，
解得
−25<k<−9
或
k>11
．
∴
实数 k的取值范围是
(−25 ,− 9)∪(11 ,+∞)
．
故选：D．
例3（2020 天津，模拟题）已知在平面直角坐标系 xOy 中，点
A
(
0,3
)
，直线 l：
y=2x − 4.
设圆 C的半径为
1，圆心在直线 l上．
2
(1)
若圆心 C也在直线
y=x −1
上，过点 A作圆 C的切线，求切线的方程；
(2)
若圆 C上存在点 M，使
MA=2MO
，求圆心 C的横坐标 a的取值范围．
【答案】解：
(1)
由
y=2x − 4
和
y=x −1
联立，得圆心
C(3,2)
．
∵
圆C的半径为 1，
∴
圆C的方程为
¿
，
显然切线的斜率一定存在，
设所求圆 C的切线方程为
y=kx+3
，即
kx − y +3=0
．
∴¿3k − 2+3∨¿
√
k2+1
=1¿
，
∴2k(4k+3)=0
，
∴k=0
或
k=−3
4
．
∴
所求圆 C的切线方程为
y=3
或
3x+4y −12=0
．
(2)∵
圆C的圆心在直线 l：
y=2x − 4
上，所以设圆心 C为
(a , 2a − 4)
，
则圆 C的方程为
¿
．
又
∵MA =2MO
，
∴
设M为
(x , y )
，
则
√
x2+( y −3)2=2
√
x2+y2
，整理得
x2+¿
，设为圆 D．
所以点 M应该既在圆 C上又在圆 D上，即圆 C和圆 D有交点，
∴
|
2−1
|
≤
√
a2+[(2a − 4)−(−1)]2≤∨2+1∨¿
，
由
5a2−12 a+8≥0
，得
a∈R
，由
5a2−12 a ≤ 0
，得
0≤ a ≤ 12
5
．
综上所述，a的取值范围为
[0,12
5].
【解析】本题考查直线与圆的位置关系和、圆与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆相切的等价条件和圆与
圆相交的等价条件是解题的关键，属中档题．
(1)
先求得圆心
C(3,2)
，再根据半径为 1，可得圆 C的方程
.
考虑到切线的斜率一定存在，设切线方程，由
圆心到切线的距离等于半径求得切线方程；
(2)
可设圆心
C(a , 2a −4)
，设点
M(x , y )
，则由
¿MA∨¿2∨MO∨¿
可得
x2+( y+1)2=4
，设此圆为圆
D，由题意可得，圆 C和圆 D有交点，由此有
|
2−1
|
≤
|
CD
|
≤2+1
，解之可得 a的取值范围．
3
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