专题1.16 导数-不等式的证明（解析版）高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

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专题 1.16 导数-不等式的证明

1．高考对本部分的考查一般有三个层次：

（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；

（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；

（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，

将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．

2．利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明

（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造

辅助函数．

1．已知函数为常数）．

（1）若曲线在处的切线方程为，求，的值；

（2）讨论函数函数的单调性；

（3）当，时，求证：．

【试题来源】2021 届高三数学二轮复习

【答案】（1），；（2）答案见解析；（3）证明见解析．

【分析】（1）算出曲线在处的切线方程，然后与比较系数即可；

（2）分和讨论即可；（3）构造函数

，利用导数证明即可．

【解析】（1），（1），（1），

曲线在处的切线方程为，

即，由题意：，，，；

（2），设，

当时，在上恒成立；

当时，令，即，解得，

令，即，解得．

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．

（3）证明：令，

则，令，

则，令得令得，

在上单调递减，在上单调递增

，（1）（1），，

，存在使，

且当或时，，

当，时，，

在上递增，在，上递减，在上递增，

又（1），所以有：，即，

．

【名师点睛】证明不等式或转化为证明或

，进而构造辅助函数．

2．已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若对一切实数，都有恒成立，求的取值范围．

（3）求证：，．

【试题来源】2021 届高三数学二轮复习

【答案】（1）答案见解析；（2）1；（3）证明见解析．

【解析】（1）由，

① 当时，显然；

② 当时，由得，显然当时，；

所以当时，在上单调递增；

当时，在上递增；

（2）由（1）知，当时，递增，且，不合题意，舍去．

当时，由（1）知，当时，，当时，

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