专题1.15 导数-存在性问题（解析版）

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专题 1.15 导数-存在性问题
1．高考对本部分的考查一般有三个层次：
（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；
（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；
（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，
将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．
2．存在性问题的解法
（1）若 在区间 D上有最值，则
能成立： ； ．
（2）若能分离常数，即将问题转化为 （或 ），则
能成立： ； ；
1．已知函数 ， ．
（1）求 的单调区间；
（2）若 ，存在非零实数 ， ，满足 ，证明： ．
【试题来源】“超级全能生”2021 届高三全国卷地区 1月联考试题（丙卷）
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用导数的基本运算可得 ，讨论 、
或 ，利用导数与函数单调性之间的关系即可得出结果．（ 2）根据题意
1
可得 ， 分别为 的零点，由（1）知 在 上单调递增，在
上单调递减，不妨设 ，利用零点存在性定理可得 ， ，即证
【解析】（1）由题意得 ，
令 ，当 时， ，
即当 时， ；
当 时， ，
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时，令 ，则 ， ， ，
故 的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 ， ；
当 时，令 ，则 ， ， ，
满足 ，故 在 上单调递增；
当 时，令 ，
则 ， ， ，
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ．
综上，当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 ， ；
2
当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 ， ．
（2）证明：当 时， ，
依题意得 ， 分别为 的零点，
由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减．
设 ，由 ，
，由零点存在性定理得 ，
，由零点存在性定理得 ，
利用不等式的性质得 ，则 ，
同理当 时也成立．综上， ．
【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式、零点存在性
定理，解题的关键是讨论 的取值，利用零点存在性定理得出 ， ，
考查了分类讨论的思想．
2．已知函数 ，
（1）若 ， 的极大值是 ，求 a的值；
（2）若 ， 在 上存在唯一零点，求 b的值．
【试题来源】安徽省六安市示范高中 2020-2021 学年高三上学期教学质量检测
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先求得函数的定义域，求得函数的导函数，根据定义域，分析导函数的零点
情况，对实数 进行分类讨论，根据函数的极值的条件，求得 的值；（2）利用导数研究
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