专题1.14 导数-恒成立问题（解析版）

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专题 1.14 导数-恒成立问题
1．高考对本部分的考查一般有三个层次：
（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；
（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；
（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，
将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．
2．恒成立问题的解法
（1）若 在区间 D上有最值，则
恒成立： ； ；
（2）若能分离常数，即将问题转化为 （或 ），则
恒成立： ； ；
1．已知函数 ．
（1）证明：当 时，函数 有唯一的极大值；
（2）当 恒成立，求实数 的取值范围．
【试题来源】百师联盟 2020-2021 学年高三下学期开年摸底联考考试卷（全国Ⅰ卷）
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）对函数求导，讨论函数的单调区间，进而可证明结果．
（2）构造函数 ，只需函数最大值小于 0即可得出结果．
【解析】（1）证明： ，
因为 ，所以 ，
1
当 时， ，
令 ，
在区间 上单调递减； ，
存在 ，使得 ，
所以函数 递增区间是 ，递减区间是 ．
所以函数 存在唯一的极大值 ．
（2）由 ，
即令 ，
在区间 上单调减函数，
，只要 即可，即 ．
2．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 恒成立，求正实数 的取值范围、
【试题来源】吉林省长春市 2021 届高三质量监测（二）
【答案】（1）当 时， 在定义域 上单调递增；当 时， 在
上单调递减，在 上单调递增；（2） ．
【分析】（1）求出导函数 ，讨论 或 ，利用函数的单调
2
性与导数之间的关系即可求解．（2）令 ，结合（1）不等式等价于
，只需 ，令 ，根据函数为增函数即可求解．
【解析】 定义域为 ，
当 时，在 上 所以 在定义域 上单调递增；
当 时，令 有 令 有
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
令 ，由 及 为正数知， 在 处取最小值，
所以 恒成立等价于 ，即 ，
整理得 ，令 ，
易知 为增函数，且
所以 的 的取值范围是 .
3．已知函数 ．
（1）讨论函数 在区间 上的最小值；
（2）当 时，求证：对任意 ，恒有 成立．
【试题来源】河北省张家口市 2021 届高三一模
3
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