专题1.13 导数-零点问题（原卷版）

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专题 1.13 导数-零点问题
1．高考对本部分的考查一般有三个层次：
（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；
（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；
（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，
将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．
2．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有
一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．
3．利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函
数图象与 轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的
思想和分类讨论的思想；
（2）构造新函数，将问题转化为研究两函数的图象的交点问题；
（3） 分 离 参 变 量 ， 即 由 分 离 参 变 量 ， 得 ， 研 究 直 线 与
的图象的交点问题．
1．设函数 ， ．
（1）求 的单调区间和极值；
（2）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点．
2．已知函数 ， ， ．
1
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）讨论 在 上零点的个数．
3．已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数．
（1）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（2）当 ， 时，
① 证明：函数 恰有一个零点；
② 设 为 的极值点， 为 的零点，证明： ．
参考数据：
4．已知 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）若 有 2个不同零点，求 的取值范围．
5．设函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，若函数 有三个不同零点，求 c的取值范围；
2
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