专题1.13 导数-零点问题（解析版）

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专题 1.13 导数-零点问题
1．高考对本部分的考查一般有三个层次：
（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；
（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；
（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，
将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．
2．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有
一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．
3．利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函
数图象与 轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的
思想和分类讨论的思想；
（2）构造新函数，将问题转化为研究两函数的图象的交点问题；
（3） 分 离 参 变 量 ， 即 由 分 离 参 变 量 ， 得 ， 研 究 直 线 与
的图象的交点问题．
1．设函数 ， ．
（1）求 的单调区间和极值；
（2）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点．
【试题来源】北京市铁路第二中学 2021 届高三上学期期中考试
【答案】（1） 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ； 极小值
1
；（2）证明见解析．
【分析】（1）求函数导数，分析函数的单调性即可得极值；
（2）由（1）知， 在区间 上的最小值为 ，由 得
，讨论 和 时端点的函数值即可得证．
【解析】（1）由 得 ．
由 解得 ． 与 在区间 上的情况如下：
↘ 极小值 ↗
所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
在 处取得极小值 ，无极大值．
（2）由（1）知， 在区间 上的最小值为 ．
因为 存在零点，所以 ，从而 ．
当 时， 在区间 上单调递减，且 ，
所以 是 在区间 上的唯一零点．
2
当 时， 在区间 上单调递减，且 ， ，
所以 在区间 上仅有一个零点．
综上可知，若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点．
2．已知函数 ， ， ．
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）讨论 在 上零点的个数．
【试题来源】江苏省连云港市 2021 届高三下学期期初调研考试
【答案】（1）证明见解析；（2）当 时， 在 上有 1个零点；当 时，
在 上有 2个零点．
【分析】（1）作差，令 ，利用导数证明当 ，有
即可；（2）对于 ，求出 ，对 a
讨论，利用零点存在定理讨论零点个数．
【解析】（1）令 ，所以
当 时， ， ，所以 ．
所以 在 上单调递增．当 ，有 ，
所以 在 上恒成立．
（2） ．所以 ，
设 ， ，
3
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