专题1.12 导数-极值、最值问题（解析版）

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专题 1.12 导数-极值、最值问题

1．高考对本部分的考查一般有三个层次：

（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；

（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；

（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，

将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．

2．函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）函数极值的判断：先确定导数为 0的点，再判断导数为 0的点的左、右两侧的导

数符号．

（2）求函数极值的方法：

① 确定函数的定义域．

② 求导函数．

③ 求方程的根．

④ 检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么

在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果

在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．

（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程

的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．

3．求函数 f(x)在[a,b]上最值的方法

（1）若函数 f(x)在[a,b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．

（2）若函数 f(x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数 f(x)在区间(a,b)上的极值，与

f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

（3）函数 f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．

注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．

（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是

最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定．

1．已知函数的图象经过点．

（1）设，讨论在上的单调性；

（2）若在上的最大值为，求的取值范围．

【试题来源】2021 年高考数学二轮复习热点题型精选精练

【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．

【分析】（1）求出函数解析式，求导数，对 t分类讨论即可求解；

（2）根据（1）只需满足即可求解．

【解析】（1）因为，

所以，，，

当或时，，当时，，

所以：①当时，在和上递增，在上递减；

② 当时，在上递减，在上递增；

③ 当时，在上递增；

（2）因为在上的最大值为，

所以由（1）可得，解得，

故的取值范围为．

2．已知函数，其中是自然对数的底数．

（1）设存在，使得成立，求正实数的取值集合 A；

（2）若，比较与的大小，并证明你的结论．

【试题来源】湖南师范大学附属中学 2021 届高三下学期月考（六）

【答案】（1）；（2）答案见解析．

【分析】（1）令函数，求出函数的导函数，即可得到函数

的单调性及最小值，当且仅当最小值，即可得到参数的取值范围；（2）构造函

数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨

论即可得到结论．

【解析】（1）令函数，

则．当时，，

又故 ,所以是上的单调增函数，

因此在的最小值是

由于存在使成立,

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