专题1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题（原卷版）

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专题 1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题

（1）定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，

形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据

等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或

定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，

如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.

（2）定点问题解决步骤：

①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；

②根与系数关系列出两根和及两根积；

③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；

④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．

（3）探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；

② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

（4）存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：

① 确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；

② 将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看

能否得到一个常数．

（5）求定线问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．

1．设椭圆，O为原点，点是 x轴上一定点，已知椭圆的

长轴长等于，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆 C交于两个不同点 M，N，已知 M关于 y轴的对称点为，

N关于原点 O的对称点为，若点三点共线，求证：直线 l经过定点．

2．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点

处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系

中，已知椭圆：的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点 (点在第一象限)，过原点

作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定

值；若不是，说明理由．

3．已知椭圆：的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线 (且)交椭圆于，两点，记直线，

的斜率分别为，，探究：是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理

由．

4．已知椭圆的焦距为，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆上存在两点，，使得的斜率与的斜率之和为，直线

是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

5．已知椭圆的上、下顶点分别为为直线上的动点，

当点位于点时，的面积，椭圆上任意一点到椭圆的左焦点的

最短距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）连接，直线分别交椭圆于（异于点）两点，证明：直线

过定点．

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