专题1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题（解析版）

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专题 1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题

（1）定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，

形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据

等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或

定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，

如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.

（2）定点问题解决步骤：

①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；

②根与系数关系列出两根和及两根积；

③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；

④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．

（3）探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；

② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

（4）存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：

① 确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；

② 将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看

能否得到一个常数．

（5）求定线问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．

1．设椭圆，O为原点，点是 x轴上一定点，已知椭圆的

长轴长等于，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆 C交于两个不同点 M，N，已知 M关于 y轴的对称点为，

N关于原点 O的对称点为，若点三点共线，求证：直线 l经过定点．

【试题来源】山西省晋中市 2021 届高三下学期二模

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）由条件可知，再根据离心率求，最后代入，求椭圆方

程；（ 2）直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，由三点共线可知

，坐标表示斜率后，代入根与系数的关系化简，求直线所过的定点．

【解析】（1）由题意得，，所以．

所以椭圆 C的方程为．

（2）证明：设，则，

直线，与椭圆方程联立

得，则，

．

因为点三点共线，所以，即，

所以，

即，

整理得．①

由，代入①

整理得，

所以直线 l的方程为，即直线 l恒过定点．

2．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点

处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系

中，已知椭圆：的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点 (点在第一象限)，过原点

作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定

值；若不是，说明理由．

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