专题1.10 圆锥曲线-抛物线（原卷版）

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专题 1.10 圆锥曲线-抛物线

（1）解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲

线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合

性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题

时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，

以及注重对运算能力的培养.

（2）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：

①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．

②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公

式求弦长．

③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及

一元二次方程根与系数的关系.

（3）圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后

利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

（4）解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程

联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点

的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．

1．已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足

恰好为抛物线的焦点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于

两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程．

2．已知抛物线的焦点为点在抛物线上，点的横坐标为

且．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若为抛物线上的两个动点(异于点 )，且，求点的横坐标的取值

范围．

3．如图，已知点 F为抛物线 E：y2=2px(p>0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线 E上，且|AF|

=3．

（1）求抛物线 E的方程；

（2）已知点 G(-1，0)，延长 AF 交抛物线 E于点 B，证明：GF 为∠AGB 的平分线．

4．已知椭圆的离心率为，一个焦点坐标为，曲线上任一点到点

和到直线的距离相等．

（1）求椭圆和曲线的标准方程；

（2）点为和的一个交点，过作直线交于点，交于点，且

互不重合，若，求直线与轴的交点坐标．

5．设抛物线，恒过定点的直线与抛物

线交于 A，B，且 A

、

B到x轴距离之积为．

（1）求抛物线方程；

（2）若，求实数 m的取值范围．

6．已知抛物线，为其焦点，，三点都在抛物

线上，且，设直线的斜率分别为．

（1）求抛物线的方程，并证明；

（2）已知，且三点共线，若且，求直线的方

程．

7．已知点是圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦

，并使弦的中点恰好落在轴上．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，延长交直线于点，延长交曲线于点，

曲线在点处的切线交轴于点，求证：．

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