专题1.10 圆锥曲线-抛物线（解析版）

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专题 1.10 圆锥曲线-抛物线

（1）解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲

线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合

性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题

时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，

以及注重对运算能力的培养.

（2）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：

①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．

②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公

式求弦长．

③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及

一元二次方程根与系数的关系.

（3）圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后

利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

（4）解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程

联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点

的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．

1．已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足

恰好为抛物线的焦点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于

两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程．

【试题来源】东北三省四市教研联合体 2021 届高考模拟考试

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）可得，代入方程求解即可；（2）设直线的方程为，

和抛物线的方程联立消元可得，，然后利用，求

解即可．

【解析】（1）由题意，代入，得，

，抛物线的方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，与题意不符，

所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为代入到中，

，

设，，则，

，，所以直线的方程为．

2．已知抛物线的焦点为点在抛物线上，点的横坐标为

且．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若为抛物线上的两个动点(异于点 )，且，求点的横坐标的取值

范围．

【试题来源】2021 年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

【答案】（1）；（2）．

【分析】由抛物线的定义可得，再代入可求得，可得抛物线的标准方

程为．由直线垂直的条件建立关于点 A、B的坐标的方程，由根的判别式可求

得范围．

【解析】依题意得设，

又点是上一点，所以，得，即，

所以抛物线的标准方程为．

由题意知，设

则，因为，所以，

所在直线方程为，联立．

因为，得，即，

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