专题1.9 圆锥曲线-双曲线（原卷版）

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专题 1.9 圆锥曲线-双曲线
（1）解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲
线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合
性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题
时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，
以及注重对运算能力的培养.
（2）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：
①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公
式求弦长．
③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及
一元二次方程根与系数的关系.
（3）解决中点弦问题的两种方法：
①根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一
元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
②点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲
线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
1．在① ，且 C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为 ，② C的焦距
为6，③ C上一点到两焦点距离之差的绝对值为 4．这三个条件中任选一个，补充在下面的
问题中．问题：已知双曲线 ，_______，求 C的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．双曲线 C的一条渐近线方程是 x－2y＝0，且双曲线 C过点(，1)．
1
（1）求双曲线 C的方程；
（2）设双曲线 C的左、右顶点分别是 A1，A2，P为C上任意一点，直线 PA1，PA2分别与直
线l：x＝1交于 M，N，求|MN|的最小值．
3．已知双曲线 经过点 且实轴长是半焦距的 ．
（1）求双曲线 C的标准方程；
（2）若直线 l与双曲线 C交于 P，Q两点，且线段 PQ 的中点为 ，求直线 l的方程．
4．设中心在原点，焦点在 x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 ，且
，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4，离心率之比为 ．
（1）求这两曲线方程；
（2）若 P为这两曲线的一个交点，求 的值．
5．已知 ， ，直线 ， 相交于点 ．且它们的斜率之积是 3．
（1）求点 的轨迹 的方程．
（2）过点 能否作一条直线 与轨迹 交于两点 ，且点 是线段 的中点？
若能，求出直线 的方程；若不能，说明理由．
6．已知点 、 为双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴
的直线在 轴上方交上双曲线于点 ，且 ， 的面积为 ．
（1）求双曲线的方程；
2
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