专题1.9 圆锥曲线-双曲线（解析版）

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专题 1.9 圆锥曲线-双曲线

（1）解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲

线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合

性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题

时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，

以及注重对运算能力的培养.

（2）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：

①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．

②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公

式求弦长．

③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及

一元二次方程根与系数的关系.

（3）解决中点弦问题的两种方法：

①根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一

元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；

②点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲

线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．

1．在① ，且 C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为，② C的焦距

为6，③ C上一点到两焦点距离之差的绝对值为 4．这三个条件中任选一个，补充在下面的

问题中．问题：已知双曲线，_______，求 C的方程．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【试题来源】备战 2021 年高考数学一轮复习考点一遍过

【答案】答案不唯一，见解析

【分析】根据双曲线的性质，从①②③三个条件中选一个，求出双曲线的方程即可．

【解析】若选 ① ，因为，所以，所以

．

因为 C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为，

所以，

解得，故 C的方程为．

若选②，则．

若，则，所以，

解得，则 C的方程为；

若，则，所以，

解得，则 C的方程为．

选③，因为 C上一点到两焦点距离之差的绝对值为 4，所以，即．

若，则，所以，解得，则 C的方程为；

若，则，所以，解得，则 C的方程为．

2．双曲线 C的一条渐近线方程是 x－2y＝0，且双曲线 C过点(，1)．

（1）求双曲线 C的方程；

（2）设双曲线 C的左、右顶点分别是 A1，A2，P为C上任意一点，直线 PA1，PA2分别与直

线l：x＝1交于 M，N，求|MN|的最小值．

【试题来源】2021 年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）设出双曲线方程 x2－4y2＝k(k≠0)，将点代入即可求解．

（2）设直线 PA1，PA2的斜率分别为 k1，k2(k1，k2＞0)，由（1）可得 k1k2＝，写出直线

PA1的方程与 PA2的方程，求出点 M，N，表示出|MN|，利用基本不等式即可求解．

【解析】由渐近线方程可设双曲线 C的方程为 x2－4y2＝k(k≠0)，

把(2 ，1)代入可得 k＝4，所以双曲线 C的方程为－y2＝1．

（2）由题易知，P在右支上时|MN|取最小值．

由（1）可得 A1(－2，0)，A2(2，0)，设 P(x，y)，根据双曲线方程可得 ·＝，

直线 PA1，PA2的斜率分别为 k1，k2(k1，k2＞0)，则 k1k2＝，

PA1的方程为 y＝k1(x＋2)，令 x＝1，得 M(1，3k1)，

PA2的方程为 y＝k2(x－2)，令 x＝1，得 N(1，－k2)，

所以|MN|＝|3k1－(－k2)|＝3k1＋k2≥2 ＝，

当且仅当 3k1＝k2，即 k1＝，k2＝时，等号成立．

故|MN|的最小值为．

【名师点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，解题的关键是求出 k1k2＝，再表示

出|MN|，考查了运算能力．

3．已知双曲线经过点且实轴长是半焦距的．

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