专题1.9 推理与证明、坐标系与参数方程（解析版）

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专题 1.9 推理与证明、坐标系与参数方程
——上海最新真题模拟题 30 题精选
一、单选题
1．（2018·上海宝山区·高三二模）用数学归纳法证明 对任意
的自然数都成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别令 计算左右两边，观察不等式是否成立，即可求出.
【详解】当 时，左边 ，右边 ，
当 时，左边 ，右边 ，
当 时，左边 ，右边 ，即左边＞右边，不等式成立，
则对任意 的自然数都成立，则 的最小值为 3，
故选：C．
【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，属于基础题
2．（2019·浦东新区·上海师大附中高三一模）用反证法证明命题“如果 可被
5 整除，那么
a
，
b
中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为（ ）
A．
a
，
b
都不能被 5 整除 B．
a
，
b
都能被 5 整除
C．
a
，
b
不都能被 5 整除 D．
a
不能被 5 整除
【答案】A
【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.
【详解】
“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“
a
，
b
都不能被 5 整除”.
故选：A.
【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的
反面，是解题的突破口，属于基础题.
3．（2020·上海高三二模）用数学归纳法证明 ，
成立.那么，“当 时，命题成立”是“对 时，命题成立”的（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
1
【分析】根据必要不充分条件的定义可得结论.
【详解】“当 时，命题成立”不能推出“对 时，命题成立”，
“对 时，命题成立”可以推出“当 时，命题成立”，
所以“当 时，命题成立”是“对 时，命题成立”的必要不充分/
故选：B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念，关键是掌握必要不充分条件的概念，属于基础
题.
4．（2020·上海高三其他模拟）已知直线 的方程为 ，则下列各式是 的参数
方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将各参数方程消参，化为普通方程后，与已知直线的方程对比，即可作出判定.
【详解】A.参数方程可化简为 ，故 A 不正确；
B.参数方程可化简为 ，故 B 不正确；
C.参数方程可化简为 ，故 C 不正确；
D.参数方程可化简为 ，故 D 正确.
故选：D.
【点睛】本题考查直线的参数方程的判定，涉及参数方程与普通方程的互化，属基础题，难
度一般.
5．（2018·上海浦东新区·高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）
；（2） ；（3） ，相应的在向量
运算中，下列式子：（1） ；（2） ；（3） ，
正确的个数是
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】因为 ； , ,
所以① 正确，②③错误，选 B
2
6．（2019·上海宝山区·高三二模）用数学归纳法证明 对任意的
自然数都成立，则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】分别令 ,计算左右两边，观察不等式是否成立，即可求出
【详解】解：当 时，左边 ，右边 ,
当 时，左边 ，右边 ，
当 时，左边 ，右边 ，
即左边＞右边，不等式成立，
则对任意 的自然数都成立，则 的最小值为 3，
故选 C．
【点睛】本题以不等式为载体，考查用数学归纳法证明不等式，属于基础题
7．（2020·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）已知曲线 的参数方程为
其中参数 ,则曲线 （ ）
A．关于 轴对称 B．关于 轴对称
C．关于原点对称 D．没有对称轴
【答案】C
【分析】设 ， ，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数
关于原点对称.
【详解】设 ，
，
是奇函数，
,
3
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