专题1.8 圆锥曲线-椭圆（原卷版）

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专题 1.8 圆锥曲线-椭圆
（1）解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲
线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合
性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题
时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，
以及注重对运算能力的培养.
（2）求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数方法或定义法；
（3）与焦点三角形有关的计算问题，足以利用椭圆的定义、焦半径公式等来简化计算．
（4）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：
①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公
式求弦长．
③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及
一元二次方程根与系数的关系.
（5）解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数
关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问
题时常从以下几个方面考虑：
① 利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
② 利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量
关系；
③ 利用基本不等式求出参数的取值范围；
④ 利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
1．如图，已知椭圆 ，离心率为 ， 为椭圆的左、
右焦点， 为椭圆上一动点， 为 的内心，连接 ， 延长交 轴于点 ．
1
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， 的面积分别为 ， ，求 的取值范围．
2．已知椭圆 过点 ，且与曲线 有共同的焦点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2） 过 椭 圆 的 右 焦 点 作 直 线 与 椭 圆 交 于 两 点 ， 设 ， 若
，点 ，求 的取值范围．
3．已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆 E上．
（1）求椭圆 E的方程；
（2）如图，O为坐标原点，点 A为椭圆 E上一动点 非长轴端点 ，直线 ､AO 分别与
2
椭圆 E交于点 B､C，求 面积的最大值．
4．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，且
过点 ，其左顶点为 ，上顶点为 ．直线 ： 与 ， 轴分别
交于点 ， ，直线 ， 分别与椭圆 交于点 ， ．（ 异于点 ， 异于
点 ）
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求直线 的方程．
5．某城市决定在夹角为 的两条道路 ､之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如
图所示， 千米， 为 的中点， 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建
造一个三角形游乐区域 ，其中 ， 在椭圆上，且 的倾斜角为 ，交
于 ．
3
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