专题1.7 空间向量与立体几何（解析版）

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专题 1.7 空间向量与立体几何
（1）高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及
二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等．
主要有两种考查形式：
①利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；
②考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平
面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，
把空间立体几何问题转化为空间向量问题.
（2）运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：
① 建立恰当的空间直角坐标系；
② 求出相关点的坐标；
③ 写出向量坐标；
④ 结合公式进行论证、计算；
⑤ 转化为几何结论．
（3）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通
过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角
还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角
的补角．设平面
α
，
β
的法向量分别为
μ
=(
a
3，
b
3，
c
3)，
v
=(
a
4，
b
4，
c
4)，平面
α
，
β
的
夹角为
θ
(0≤
θ
≤π)，则 .
（4）用向量解决探索性问题的方法：
① 确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求．
② 确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标
而不是直接设出 点的坐标．
③ 解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问
题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决
更简单、有效，应善于运用这一方法解题．
1
1．已知梯形 如图 1所示，其中 ， ， ，四边形 是边
长为 1的正方形，沿 将四边形 折起，使得平面 平面 ，得到如
图2所示的几何体．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若点 在线段 上，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的
长度．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市哈尔滨第三中学 2020-2021 学年高三下学期第一次模拟
（理）
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）利用折前折后的不变量先证明线面垂直，再进一步得到面面垂直．
（2）建系求平面 法向量，建立方程求解．
【解析】（1）因为平面 平面 ， 平面 ，
2
平面 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为四边形 是正方形所以 ，
因为 、 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 所以平面 平面 ；
（2）建系如图：
设平面 的法向量 ， ， ， ，
，则 ，设 ， ，
，解得 或 （舍），
，所以 .
2．在三棱锥 中， ， ， ．
3
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