专题1.6 概率与统计-随机变量及其分布（解析版）

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专题 1.6 概率与统计-随机变量及其分布

（1）频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差，离散型随机变量的分布列与期望仍然

是考查的热点，同时应注意和概率、平均数、分布列，期望，二项分布，正态分布等知识

的结合，同时应注意独立性检验在实际生活中的应用。

（2）求离散型随机变量 X的分布列的步骤

①理解 X的意义，写出 X可能取的全部值；

②求X取每个值的概率；

③写出 X的分布列．

注意：①与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，

再求出分布列．

②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．

③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，

再列出分布列．

④与独立事件有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出

分布列．

⑤求解离散型随机变量 X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、

方差的定义求，即可．

1．支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽

取了 100 名支付宝用户进行调查，得到如下数据：

每周使用支付宝次数 1 2 3 4 5 6 及以上

40 岁及以下人数 3 3 4 8 7 30

40 岁以上人数 4 5 6 6 4 20

合计 7 8 10 14 11 50

（1）如果认为每周使用支付宝超过 3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面列联

表，并判断能否在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄

有关？

不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计

40 岁及以下人数

40 岁以上人数

合计

（2）每周使用支付宝 6次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有

“支付宝达人”中，随机抽取 3名用户．

① 求抽取的 3名用户中，既有 40 岁及以下“支付宝达人”又有 40 岁以上“支付宝达人”

的概率；

② 为了鼓励 40 岁以上用户使用支付宝，对抽出的 40 岁以上“支付宝达人”每人奖励 500

元，记奖励总金额为 X(单位：元)，求 X的数学期望．

附：，其中．

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

【试题来源】云南省云南师范大学附属中学 2021 届高三第七次月考

【答案】（1）列联表答案见解析，在犯错误率不超过 0.05 的前提下，不能认为是否“喜

欢使用支付宝”与年龄有关；（2）① ；② ．

【分析】（1）根据题干列联表，计算，对照参照值得出结论；

（2）视频率为概率，可得答案；记抽出的 40 岁以上“支付宝达人”的人数为，满足二

项分布，得出期望，又，可得奖励总金额的期望．

【解析】（1）由题中表格数据可得列联表如下：

不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计

40 岁及以下人数 10 45 55

40 岁以上人数 15 30 45

合计 25 75 100

将列表中的数据代入公式计算得

的观测值，

所以在犯错误率不超过 0.05 的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关．

（2）视频率为概率，在该市“支付宝达人”中，随机抽取 1名用户，该用户为 40 岁及以

下的“支付宝达人”的概率为，为 40 岁以上的“支付宝达人”的概率为．

① 抽取的 3名用户中，既有 40 岁及以下“支付宝达人”又有 40 岁以上“支付宝达人”的

概率为．

② 记抽出的 40 岁以上“支付宝达人”的人数为，则．

由题意得，所以，

所以的数学期望．

2．如图是市旅游局宣传栏中的一幅标题为“2012~2019 年我市接待游客人次”的统计

图．根据该统计图提供的信息解决下列问题．

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