专题1.5数列与数学归纳法--《2021届高三数学（浙江）三轮复习专题突破》第一篇 排查考点夯基础 【原卷版】

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专题 1.5 数列与数学归纳法
1. 已知数列的前几项，求数列通项公式时，应注意四个特征：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻
项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想、利用数学
归纳法进行证明.
2.由递推关系求数列通项公式时的常用方法有：
（1）已知
1
a
，且
1
( )
n n
a a f n
 
，可用“累加法”求
n
a
；
（2）已知
1
a
，且
1
( )
n
n
af n
a
，可用“累乘法 ” 求
n
a
；
（3）已知
1
a
，且
1n n
a qa b
 
，则
 
1n n
a k q a k
 
，（其中
k
可由待定系数法确定），可转化为数
列
成等比数列求
n
a
；
（4）形如
1
( , ,
n
n
n
Aa
a A B C
Ba C
为常数）的数列，可通过两边同时取“倒数”构造新数列求解.注意求出
1n
时，公式是否成立.
3.
n
a
与
n
S
关系的应用问题：
（1）由
n
a
与前
n
项和
n
S
关系求
n
a
时：
1
1
, 1,
, 2
n
n n
a n
aS S n
 
，当
1n
时，若
1
a
适合
1n n n
a S S
 
（
2n
），，则
1n
时的情况可并入
2n
时的通项
n
a
；否则用分段函数的形式表示.[来源:学|科|网Z|X|X|K]
(2)由
n
a
与前
n
项和
n
S
关系求
n
S
，通常利用
1n n n
a S S
 
（
2n
）将已知关系式转化为
n
S
与
1n
S
的关
系式，然后求解.
4.判定一个数列是等差数列的方法：
1
（1）用定义法（当
2n
时，
1
nn aa
为同一常数）；
（2）等差中项法（
1 1
2,2 n n n
n a a a
 
 
）；
（3）
babana
n
,(
为常数）；
（4）
babnanS
n
,(
2
为常数）.
5.解决等差数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公差
d
与首项
1
a
来表示，列出方程进行求解.
6.求等差数列前
n
项和的最值的常用方法：
（1）运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的性质求最值；
（2）用通项公式求最值：求使
0( 0)
n n
a a 
成立时
n
的最大值即可.
7. 判定一个数列是等比数列的方法：
（1）定义法（
1
2,
n
n
a
na
为同一常数）；
（2）等比中项法（
2
1 1
2, ( 0)
n n n n
n a a a a
 
 
）.
8.解决等比数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公比
q
与首项
1
a
来表示，列出方程进行求解.
9．数列求和常用方法有：
（1）公式法：直接利用等差、等比数列的前
n
项和公式求和(等比数列求和需考虑
1q
与
1q
)；
（2）倒序相加法：若一个数列
 
n
a
的前
n
项中与首末两端等“距离”的两项和相等或等于同一个常数，
这样的求和问题可用倒序相加法；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；
（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这
个数列的求和问题可用错位相减法；
（5）分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组
求和法，分别求和后相加减.学@科网
10.与数列的关的不等式证明问题，需灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、
2
数学归纳法等.
11.明确数学归纳法证明命题的步骤
(1)证明当 n取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是归纳奠基．
(2)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1
时命题也成立，这一步是归纳递推．
完成这两个步骤，就可以断定命题对从
n 0
开始的所有正整数
n
都成立．
【说明】数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步
骤缺一不可．
一、单选题
1.（2021·湖南永州市·高三二模）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个
节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化
如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至
的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ）
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
【要点回扣】1.数学文化；2.等差数列及其求和.
2.（2020·湖南长郡中学高三月考（文））记 为等差数列 的前 项和.若 ， ，
则 的公差为（ ）
3
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