专题1.4 数列-结构不良型（原卷版）

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专题 1.4 数列-结构不良型

（1）方法技巧：在求解等差数列基本量问题时，常用的思想方法有：

①方程思想，设出公差，然后利用通项公式或前项和公式将已知条件转化为方

程(组)求解；

②整体思想，当所给条件只有一个时，可将已知和所求结果都用和公差表示，

寻求两者的联系，整体代换即可求解；

③利用性质，运用等差数列的性质可以化繁为简，优化解题过程．

（2）等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于

熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n

项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

（3）数列求和的常用方法：

①对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

②对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求

和；

③对于型数列，利用分组求和法；

④对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消

法．

（4）数列求和的方法技巧：

①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

1．从 ① ； ② ； ③

中任选两个补充到下面问题中的横线上，然后完成

问题的解答．问题：已知数列为正项等比数列，；数列满足：．

（1）求；

（2）求的前项和．注：如果多次选择条件分别解答，按第一个解答计分．

2．在① ，② ，③ 这三个条件中任选两个，补充在下面

的问题中．若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

设等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，设前项和为，

若，，且．是否存在大于的正整数，使得

成等比数列？

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

3．在 ① 对任意满足； ② ； ③

．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列

的前 n项和为 __________，若数列是等差数列，求出数列的通项公式；

若数列不是等差数列，说明理由．

4．从 ① ， ② 为等差数列且，

，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答．

问题：已知数列，满足，且___________．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）若表示数列在区间内的项数，求数列的前项的和．

5．给定三个条件：① ，，成等比数列，② ，③ ，从上述

三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．

问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，___________．

（1）求数列的通项；

（2）若，数列的前项和，求证：．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

6．设为等差数列，是正项等比数列，且，．在 ①

，② ，③ ，，这三个条件中

任选一个，求解下列问题：

（1）写出你选择的条件并求数列和的通项公式；

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