专题1.4 数列-结构不良型（解析版）

3.0 envi 2025-02-13 8 4 1.43MB 36 页 3知币
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专题 1.4 数列-结构不良型
（1）方法技巧：在求解等差数列基本量问题时，常用的思想方法有：
①方程思想，设出公差 ，然后利用通项公式或前 项和公式将已知条件转化为方
程(组)求解；
②整体思想，当所给条件只有一个时，可将已知和所求结果都用 和公差 表示，
寻求两者的联系，整体代换即可求解；
③利用性质，运用等差数列的性质可以化繁为简，优化解题过程．
（2）等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于
熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n
项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
（3）数列求和的常用方法：
①对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
②对于 型数列，其中 是等差数列， 是等比数列，利用错位相减法求
和；
③对于 型数列，利用分组求和法；
④对于 型数列，其中 是公差为 的等差数列，利用裂项相消
法．
（4）数列求和的方法技巧：
①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
1
1． 从 ① ； ② ； ③
中任选两个补充到下面问题中的横线上，然后完成
问题的解答．问题：已知数列 为正项等比数列， ；数列 满足： ．
（1）求 ；
（2）求 的前 项和 ．注：如果多次选择条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】广东省六校联盟 2021 届高三上学期第二次联考
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【解析】选择①③解：（1）令 ，得 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
设数列 的公比为 ，则 ，所以 ；
（2）当 时， ①
又 ， ②
②–① ，
因为 ，所以 ， 时也成立，所以 ．
，
2
所以
．
选择①②解：（1）令 ，得 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
设数列 的公比为 ，则 ，所以 ；
（2）当 时， ①
又 ， ②
②–① ，
因为 ，所以 ， 时也成立，所以 ．
以下与选择①③相同．
选择②③解：（1）令 ，得 ，所以 ，
令 ，得 ， ，
3
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